3.5 等直圆杆扭转的变形和刚度条件

圆轴扭转时的变形是用两截面绕轴线相对转动的角度来度量的，称为扭转角（angle of twist）。由式（3-11）得

相距为l的两个截面之间的扭转角可通过将上式进行积分得

式中，GIp称为圆轴的抗扭刚度。若等直圆轴在两个横截面之间扭矩T不变，且GIP为常量，则两截面的相对扭转角为

对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为

为了机械运动的稳定和工作精度，机器中的某些轴类构件，除应满足强度要求之外，还不应有过大的扭转变形。因此，要根据不同要求，对受扭圆轴的变形加以限制，即进行刚度设计。

从式（3-20）～式（3-22）可以看出，扭转角ϕ的大小与两截面间距离l有关，因此在很多情形下，该量不能准确地表征轴的扭转变形程度。而相距单位长度两截面的扭转角（称为单位长度扭转角）与轴的长度无关，能有效地表征轴的扭转变形程度。单位长度扭转角也称扭转角的变化率，即

单位是rad/m（弧度/米）。

扭转刚度设计要求单位长度扭转角限制在允许的范围内，即必须满足刚度条件

式中，θ和[θ ]的单位均为°/m （度/米）；[θ ]为许用单位长度扭转角，其数值根据轴的工作要求而定，例如，对用于精密机械的轴，[θ ] = （0.25～0.5） （°/m）；对一般传动轴，[θ ] = （0.5～1.0） （°/m）；对刚度要求不高的轴，[θ ] = 2 （°/m）。

例题图3-6中的杆件为圆锥体的一部分，设其锥度不大，两端的直径分别为d1和d2，长度为l。沿轴线作用着均匀分布的扭转力偶矩，集度为m。试计算两端面的相对扭转角。

分析：该杆件为连续变截面圆轴，且作用着分布外力偶矩，所以应利用式（3-20）计算。

解：设距左端为x的任意横截面的直径为d，按几何关系求得

该横截面的极惯性矩为

同一横截面上的扭矩为

T=mx

由式（3-20）得两端面的相对扭转角为

一台电机的传动轴传递的功率为40 kW，转速为1400 r/min，直径为40 mm，轴材料的许用切应力[τ]= 40 MPa，剪切弹性模量G = 80 GPa，，许用单位扭转角[θ]= 1°/m，试校核该轴的强度和刚度。

解：

1） 计算扭矩

2） 强度校核

3） 刚度校核

因此，该传动轴既满足强度条件，又满足刚度条件。

有一闸门启闭机的传动轴。已知：材料为45号钢，剪切弹性模量G = 79 GPa，许用切应力[τ]= 88.2 MPa，许用单位扭转角[θ]= 0.5 º/m，使圆轴转动的电动机功率P = 16 kW，转速为3.86 r/min，试选择合理的圆轴直径。

分析：该题同时给出了强度和刚度所应满足的许用切应力和许用单位扭转角，所以应分别利用强度条件[见式（3-18）]和刚度条件[见式（3-24）]确定圆轴的直径，然后选择最大的值使强度和刚度同时得到满足。

解：

1） 计算传动轴传递的扭矩

2） 由强度条件[见式（3-18）]确定圆轴的直径

式中， ，于是得

3） 由刚度条件[式（3-24）]确定圆轴的直径

式中， ，于是得

选择圆轴的直径d=155 mm（可取160 mm），既满足强度条件，又同时满足刚度条件。

一组合轴如例题图3-9所示由内圆轴与外圆套组成，长为l。内圆轴为铜，剪切弹性模量为G1，外圆套为钢，剪切弹性模量为G2，两者在交界面上牢固结合，钢套的内外半径分别为R1和R2，在扭矩T的作用下，试推导扭转切应力和两端截面的相对扭转角。

分析：由于铜轴和钢套牢固结合，所以扭转变形时平面假设依然成立，于是两圆柱内的切应变均可由式（3-8）表示。由此仿照3.4节的思路，由铜轴和钢套各自的物理方程得到切应力表达式，然后由静力等效最终确定切应力。

解：设由铜轴和钢套牢固结合后组成的复合圆柱产生的单位长度扭转角为dϕ /dx，由式（3-8）得切应变为

由物理方程得铜轴和钢套的切应力分别为

根据静力学等效，得

求解，得

将式（b）代入式（a），得切应力为

将式（b）进行积分，得两端截面的相对扭转角为

讨论：从上面的推导过程可以看出，平面假设起到了关键的作用，有了该假设才能获得应变分量的表达式，即几何关系。然后，再利用物理方程和静力等效获得应力的计算公式。这一思路正是材料力学分析杆件结构应力和变形的基本方法。