第2章 光电检测技术基础

2.1 检测量的误差及数据处理

在光电检测技术中，许多情况下需要检测出待测量的具体数值。例如，对光度量和辐射度量的测量；光学零件透射比、反射比或漫射特性的测量；光电或热电器件灵敏度、增益等参量的测量；零件几何尺寸的测量；运动物体的线速度、转速及流体的流速等的测量。而在有些光电检测系统中，检测量作为控制的信号，看起来并不需要直接给出检测量的具体大小，但在控制系统的工作范围、控制精度及可靠性的估算中，也离不开具体量值的隐含检测。所以不论是隐含还是显含，检测量的测量都是必需的。

要获得检测量就要通过检测器具来进行，这就不可避免地要带进检测误差。因此在光电检测技术中必须讨论和分析有关检测量的误差，从中得到检测数据的一般处理方法。

2.1.1 检测过程及误差分类

本节主要介绍检测过程、检测标准、误差的产生、置信限和置信概率等问题。

1. 检测过程及标准

光电检测过程与一般物理量的测量过程相类似，是用待测量直接或间接与另一个同类已知量相比较，并以同类已知量的单位为单位，测定出待测量的具体值。例如，使用照度计测定某受光面的照度，这是直接测量法的例子，待测量是受光面的照度，而已知量及单位隐含在经标定后的照度计读数之中。又如，测定某像管的增益G，它是荧光屏亮度La与阴极面照度Ek的比值，即G=La/Ek（cd/m2·lx）。具体检测时，用照度计直接测定Ek，用亮度计直接测定La，通过计算得到待测量G的大小，这是间接测量的例子。

由检测过程可知，必须有已知量作为比较或参考的标准，才能进行检测工作。比较标准通常有以下三类：

（1）真值A0

真值是指某物理量的理论值或定义值。例如，真空中的光速；某元素某谱线的波长等。这种参考标准只存在于纯理论之中，而不存在于实际检测之中。要检测这些标准量（如光速），则又必须以其他参考量作为标准。所以可以认为在检测技术中，绝对的真值是不可知的，但是随着技术的发展，又可以获得逐步逼近真值的测量值。

（2）指定值As

指定值是由国家设立的各种尽可能维持不变的实物基准或标准原器所规定的值。例如，长度实物基准、国家黑体光度标准器等。指定值作为国家标准，常在国际间进行比对和修正，成为各检测量比较的基准。

（3）实用值A

实际检测过程中不可能都直接与国家基准进行比较测量。因此采用计量标准传递的方法将指定值、基准量逐级传递到各级计量站，以及具体的检测仪器中。各级计量站或检测仪器在进行比较测量时，把上一级标准器的量值当做近似的真值，把它们都叫做实用值、参考值或传递值。

例如照度值的传递，由国家光度标准器的发光强度作为指定值，转移传递并寄存到各级计量站的标准光源中，标准光源通过光轨转换为不同距离上的照度标准。一般照度计在上级计量站的光轨上进行标定，而照度的测量又是用标定好的照度计进行的。在上述序列中，每传递一次都把传递者所具有的值叫做实用值。如一级站向二级站传递时，把一级站的值叫实用值；二级站向照度计传递时，二级站的值也叫实用值；照度计进行测量时，照度计的指示值仍叫实用值。

2. 误差的产生及分类

在各种检测过程中，不可避免地存在着误差。这是由于在检测过程中各种不稳定因素综合影响的结果。例如，测量方法存在原理性误差；被测物由于测量本身带来变化；各种检测量的无规则起伏和一些意外的原因等。由此造成各瞬间所测结果不同。即在条件相同的情况下，多次测量的结果也不相同。

设某被测量的真值为A0，而测得值为x，于是有

式中，Δx为检测的绝对误差或误差。

当Δx很小时，可以认为A0=x。所谓很小是相对于检测目的和允许精度范围而言的。

检测误差可按不同属性进行分类。

（1）误差按检测结果分类

可分为绝对误差和相对误差。绝对误差Δx=x-A0。相对误差通常又可用两种表示方法。一种叫做实际相对误差，表达式为

另一种叫做额定相对误差，表达式为

式中，xmax为最大测量值。例如在电工仪表中，表头的误差就采用额定相对误差表示。例如，电表为0.5级，是指该电表各示值的误差值不超过满度值的0.5%。

通常鉴定某种测量仪表的精度或误差，是在一系列附加工作条件下得出的，如环境温度、相对温度、大气压强和外磁场大小等。按鉴定测量仪表的不同要求，相应规定具体的检测条件。

（2）误差按它们的基本特性分类

可分为系统误差、随机误差和过失误差。其中过失误差在认真的检测中只是偶然出现，通常可以避免。即使它们偶然出现，也可以按一定准则给以剔除，其方法将在后面给以介绍。这里着重讨论前两种误差。

①系统误差

在检测过程中产生恒定不变的误差（叫恒差），或者按一定规律变化的误差（叫变差），统称为系统误差。系统误差产生的原因有工具误差、装置误差、方法误差、外界误差和人员误差等。

在任何一个检测系统中，都必须估计这类误差的可能来源，并尽力消除它们；或者估计它们的可能值，并在结果中给以修正。检测系统的准确度或叫精确度，即测量值与真值间的偏差在一定条件下由系统误差决定。系统误差越小，表明仪器检测的准确度越高。

系统误差的处理一般来说是技术处理问题，通过采用适当的方法，可以消除或减小这类误差。

②随机误差

在尽力消除并改正了一切明显的系统误差之后，对同一待测量进行反复多次的等精度测量，每次测量的结果都不会完全相同，而呈现出无规则的随机变化，这种误差称为随机误差。所谓多次等精度测量是指在实验环境、实验方法、实验设备等条件相同或相对稳定的条件下，对处于相对稳定状态下的同一对象进行的具有同一标准误差的多次测量。

随机误差产生的原因大多数与系统误差产生的原因相同，只是由于变化因素太多，或者由于各种因素的影响太微小、太复杂，以至无法掌握它们出现的具体规律，也无法有针对性地消除这一误差。

随机误差的处理一般采用概率统计的方法。通常一个检测系统的精密度或检测值的重复性在一定条件下是由随机误差的大小来决定的。小误差产生的概率越高，大误差产生的概率越低，则说明该检测系统的精密度越高，或重复性越好。

由于系统误差和随机误差产生的原因相类似，因此两者之间并无绝对的界线。同一原因造成的误差有时可以明确地归结为系统误差，而无法明确归属的就列为随机误差。在处理时依情况不同而确定。当检测系统的系统误差很大时，应按系统误差的处理准则明确其原因，给予尽可能的消除。当无明显的系统误差时，其误差应按处理随机误差的方法给予处理。

在光电检测系统中，常遇到的检测量既不是物理学的基本量，也不是一般的导出量，而是通过几个导出量的测量之后，按物理关系计算得到的待测量。例如前面提到的像管亮度增益G的检测，这种待测量的检测比基本量，如长度、重量等简单量的测量要复杂得多。同时各种误差的影响也很复杂，完全消除系统误差有时是很困难的。因此常用标准样品比对的方法来综合确定检测仪器的系统误差，或加以消除，或在检测值中给以修正。而检测过程的随机误差就成了研究的主要内容。这就是常用随机误差或精密度来标志检测仪器优劣的原因。

3. 置信限和置信概率

由于待测量的真值A0是不可知的，由式（2-2）可知，虽可测出测量值x，但误差Δx的具体值也不可能准确得到，但是我们可以按照一些依据和手段来估计误差Δx的值或称不确定度的大小。这种估计的误差范围或误差限叫做置信限。

置信限的估计将涉及概率问题。常将置信限估计把握的大小用置信性或置信概率来表示。于是在检测中，误差的估计常用置信限和置信概率这两个量来表示。置信限取得大，则置信概率就高；反之亦然。当置信限取无穷大时，置信概率为1；反之当置信限取零时，则概率也是零，这些都是没有实际意义的。通常的做法是在要求一定置信概率的条件下，讨论置信限的大小，从而确定检测系统或检测值可能达到的精度。

2.1.2 随机误差

本节主要介绍随机误差的性质、处理方法和估计。

1. 随机误差的性质和标准偏差

随机误差不可能像系统误差那样一一找到产生的原因，并逐个给予消除。它只能通过仔细地设计测量所采用的具体方案，精密地准备测试设备，从而尽可能减小随机误差对检测结果的影响。

在检测过程中，利用概率统计的方法对随机误差进行处理，估计最终残留的影响。应当注意，这种处理是在完全排除系统误差的前提下进行的。

通过大量实际检测的统计，总结出随机误差遵守正态分布的规律。设在一定条件下对真值为μ的某量 x进行多次重复的测量，也就是进行一列 N次等精度的测量，其结果是：x1，x2，…，xn，…，xN，各测得值出现的概率密度分布p（x）遵守正态函数或高斯函数分布的规律：

如果用每个测得值x离真值μ的偏差ξ，即真误差来表示，ξ=x-μ，则有

式中，σ为正态分布的标准偏差，也就是各测得值x的均方差，或称均方根差。

式中，符号“〈〉”表示统计平均的意思。例如：

即无穷多次抽样的平均，显然对应有

只有σ＞0，函数p（x）或p（ξ）才有意义，该函数关系如图2-1所示，这就是正态分布曲线。由此可知，测得值x出现在区间（a，b）内的概率，在图中表示为该区间曲线下的面积。而用公式表示为

当区间为正负无穷大时，则有

按照以上讨论可知，随机误差的分布即正态分布有以下特点：

（1）绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同。

（2）曲线的钟形分布使绝对值小的误差出现的概率大，而绝对值大的误差出现的概率小。

（3）绝对值很大的误差出现的概率接近于零，也就是说误差值有一定的极限。

（4）由于曲线为左右对称的分布，所以在一列等精度的测量中，其误差的代数和有趋于零的趋势。

正态分布曲线的形状在很大程度上取决于对应的标准偏差σ值的大小，而σ的大小又是由检测仪器和检测过程的精度决定的。曲线形状随σ大小变化的关系如图2-2所示，其中σ1＜σ2＜σ3。由于总概率均为1，所以三条曲线下所包含的面积相等。从概率分布可知，σ越小分布越集中，说明小误差的概率增大而大误差的概率减小。由此可见，标准偏差虽不是一个具体误差，却反映了检测误差的分布，从而也表征了检测的精密度。

从数学角度来看，当对正态分布函数取二阶导数并为0时，即d2p（ξ）/dξ2=0，恰可求出解ξ=±σ。可见标准偏差恰是曲线拐点的变量坐标。可以说σ确定了曲线的平陡和误差的概率分布。

x或ξ在某区域中的概率可用式（2-8）求出。当以x=μ或ξ=0的点作为中心对称取区间时，则因曲线是左右对称的偶函数，所以有

由于σ的特殊物理意义，在实际估计误差时，通常对讨论区间的取法采用σ的倍数k来表示，即把误差特征量与区间联系起来，使区间的取法更具有物理意义，并把k定义为置信系数。

令a=kσ，k=a/σ，于是有

如令ξ/σ=t=，则有

式中，erf（k）称为误差函数，或概率积分。Φ）叫做拉普拉斯函数。这两个特殊形式的函数值与变量间的关系，在有关讨论“测量与误差”的手册或书籍中有表可查，因此大大地减少了计算工作量。由于采用的术语在定义上可能稍有差异，因此查表时以下述关系式为准

此外还应指出，以上两种特殊形式的函数均为奇函数。

2. 算术平均值及其标准误差

利用高斯分布处理随机误差的关系是利用一列等精度N次测量的结果，估计真值μ和标准偏差σ。下面分别讨论这两个量的估计方法。

在具体的测量中，μ是不可知的，但是根据概率理论可以对它进行估计。

对μ的最佳估计就是N次检测结果x1，x2，…，xn，…，xN的算术平均值。可用下式表示

式中，符号“（-）”是指有限次抽样的平均值，即上述统计平均值（）=μ，叫做数学期望，其值等于真值。实际检测中，不可能对检测量进行无穷多次测量，因此也无法得到真值。

当然有限N次抽样的算术平均值不等于真值，即（）≠μ。因而在等精度条件下，每进行N次抽样所得到的算术平均值之间也都略有不同，就是说（）也具有随机性，它的分布也应是正态分布。可以用正态分布的有关性质来讨论算术平均值的分布。用σx表示（）的标准偏差，或叫标准误差。从而说明（）的误差分布。利用方差运算法则有

所以有

为与x的标准偏差σ相区别，有时用s表示用）代替真值μ所产生的标准偏差或均方差。

由上式可知，当检测次数N增大时，s就相应减小，也就是说（）的标准偏差减小，这时把算术平均值作为真值μ的估计值的误差也就减小。但是，这一关系是非线性的，即s∝1 /。N从1开始增加时，s下降较快；随着N的进一步增大，s下降变得缓慢。而检测次数N的增大会给测量工作带来很多困难。所以综合了需要和可能，在实际检测中常取N＜50，一般取4～20次即可。

3. 标准偏差的估计和它的均方差

标准偏差σ与真值μ一样要在N=∞时才能获得，这是难以实现的。因此也要利用有限次抽样的结果，来估计标准偏差。

在一列有限N次等精度测量中，求得真值μ的估计值 而每次测量中所得的xn与间的剩余误差或残差为，那么N不论为何值，vn的总和为

可见，残差的总和为零。这说明不能用残差的总和估计误差。式（2-18）的用途只是检查xn的算术平均值x的计算是否有误。

可用残差的平方代替真误差的平方ξ2来进行误差或标准偏差的估计。同时由残差总和为零的关系可知，在已知N-1个残差时，第N个残差就能求得，因此存在着一个约束条件，即它们的自由度是N-1，而不是N。用vn来估计σ的方法如下，从求其方差开始，引入式（2-17）有

通过换项则有

残差的统计平均值应等于零，即〈v〉=0，则

上式叫做贝塞尔公式。由式中可见当N→∞时，x→μ，N-1→N，与式（2-7）相同。上述公式是有限次抽样的结果，为与式（2-6）中的σ有所区别，贝塞尔公式的偏差估计值有时用表示。

同样由于式（2-20）是有限N次抽样的结果，其本身也是一个随机变量，因而也存在着偏差，可用σσ来表征用代替σ的标准误差，其值可按下式估计

可用具体数字代入上式，计算标准偏差估计值的误差。当N=50时，；当N=4时，。可见进行了50次的等精度测量，＾的标准误差为本身的1/10；如少于50次的测量，其误差还要大。所以说标准偏差的估计值＾的精密度并不高。实际工作时＾常取一位有效数字，最多取两位有效数字，再多的位数是没有意义的。

按照正态分布的理论，通过对概率分布密度函数的积分，可以获得以标准偏差为倍数误差区间中的概率值。

|ξ|≤0.675，P{|ξ|≤0.675}=0.50；|ξ|≤σ，P{|ξ|≤σ}=0.682689

|ξ|≤2σ，P{|ξ|≤2σ}=0.954500；|ξ|≤3σ，P{|ξ|≤3σ}=0.9973002

下面通过一个实例说明数据处理的方法和结果。光纤面板积分漫射光透射比的7次检测结果为0.842，0.845，0.841，0.838，0.844，0.842和0.839，处理以上数据。

算术平均值

均方差或标准误差

算术平均值的标准偏差

均方差的标准误差

通过以上的计算，按照概率统计的术语可以说明测量的结果。

（1）待测面板的透射比为84.16%，这是通过检测对该面板透射比真值的估计，但不是真值。在完全相同的条件下再进行一组检测，其结果一般不是上述估计值；而多组检测的结果形成平均值的正态分布，该分布的标准偏差是0.00095。

（2）如果以上述算术平均值84.16%作为面板透射比，那么这一检测结果的置信限和置信概率可以按下述取得。

以上置信限可以有各种取法，依实际要求的置信概率来定。实际上不论对测量结果的处理还是对某台检测仪器精密度的鉴定，严格地讲所提的要求都应包括置信概率和置信限两个方面。

（3）对标准偏差的估计，在不同组的检测中将有不同的结果。多组检测的结果也形成正态分布，该分布的标准误差为0.067%。可见和＾都是随机变量，本身还有一定的误差分布，所以在概率统计的处理过程中，为使所得数据更加保险，应向降低精度的方向进行统计。

有时对检测结果还要进行最大误差Δ 和测量精度JD的计算。最大误差表征用平均值代替真值μ所带来误差的一种估计，可用下式定义

式中，k为置信系数。按测量要求一般取值为2～3。

测量精度一般采用相对偏移量来定义，即

前述面板透射比的例子中，如取k=2.5，则有Δ =0.002375，JD=0.28%。

4. 间接测量的误差传递

在光电检测中，待检测量有时并不是通过直接检测就能获得的。例如前面例子中提到的像管增益测试，直接测量只能测出阴极面的输入照度Ek和荧光屏的输出亮度La，而增益G=La/Ek要通过计算才能获得。因此，如何利用测量Ek和La的误差来估计G的误差，这就是间接测量的误差传递要解决的问题。

设某间接测量的量y与各直接测量的量x1，x2，…，xn之间的关系为y=f（x1，x2，…，xn），各量的误差分别是Δx1，Δx2，…，Δxn，间接测量量的误差计算可按下式进行

几种简单函数关系的误差传递计算法如下。

（1）y=kx时，其中k为常数，有

（2）y=x1±x2时，有

（3）y=x1x2时，有

（4）y=x1/x2时，有

例如，在检测像增强器增益G时，直接测得阴极照度=2×10 -5lx，σEk=1×10 -7；阴极亮度=4×10-1cd/m2，σLa=4×10-3。则可计算出增益=2×104cd/m2·lx，σG=223.61；如取置信限为3σ，则测量结果应表示为G=2×104±671cd/m2·lx。

在检测技术中为了对真值和标准偏差进行快速估计，还有一些其他简单的方法可供使用。例如，对真值快速估计有中数法、二点法、三点法和五点法等；对标准偏差快速估计有平均偏差法、标准变程法、九点变程法和四点变程法等。随着计算技术及各种计算机的发展，这些快速方法用得越来越少，这里不再做介绍。

5. 检测灵敏阈对标准偏差估值的影响

在前述标准偏差的估计中，实际上都认定检测仪器的分辨力是无限的，或者说检测灵敏阈趋于零。实际检测仪器的灵敏度都受到一定的限制，用ω来表示它们的灵敏阈。当或时，x的各检测值没有差异，都指示为xn或ξn。因此用贝塞尔公式计算出的值并不是σ的真正最佳估值，可用谢泼德修正式来进行修正

例如，在面板透射比一例中，假设ω=0.005时，σ的估计值应修正为

σ2=（0.0025）2+0.0052/12=8.33×10 -6，即σ=0.0029

在实际测量中，如果或，而σ的取值又不超过两位数时，则可不进行这一修正计算。

6. 大误差测值出现的处理

在实际检测过程中，由于过失或其他偶然的原因，有时会出现大误差的测值，这对检测结果影响很大，必须给予慎重处理。其主要方法是：

（1）认真检查有无瞬时系统误差产生，及时发现并处理。

（2）增加检测的次数，以减小大误差测值对检测结果的影响。

（3）利用令人信服的判据，对检测数据进行判定后，将不合理数据给予剔除。

下面重点介绍两种处理数据的判据。

（1）3σ的莱特准则

该准则是按检测的全部数据计算其标准偏差的估计值σ，判据规定，当发现个别数据的残差以|vn| ＞3σ时，将该数据剔除。在这一方法中，通常是在检测次数N很大的前提下取得的，所以在N较小时这一判据并不一定可靠。

（2）肖维涅判据

在一列N次等精度的检测中，如不出现|ξ| ＞a的误差，那就是说在该条件下测值出现的概率很小，P{|ξ| ＞a}很小。当检测次数N足够大时，概率P与频率P＾=M/N很接近或认为近似相等，式中M是在N次检测中误差绝对值大于a的次数，于是概率很小的意思就是

或

因为检测过程必须按整数次进行，所以M的出现必然是整数。为使NP{|ξ| ＞a}的值在凑整后，M值实际上仍视为零的条件是

或

上式表示是以a为界在外区间中的总概率。而以a为界内区间的总概率可用下式表示

式中，有a=kσ的关系。

所谓肖维涅判据是：在一列N次等精度测量中，某个检测值xn的残差的绝对值|vn|=，超过由式（2-39）和式（2-40）所决定的界限值a时，就可认为vn是异常的误差值，对应测值xn应给予剔除。

表2-1给出了肖维涅判据，即N与k=a/σ之间的关系。具体使用方法是：根据检测次数N，按表2-1查出k=a/σ之值，根据测值计算的σ值，利用a=kσ的关系，计算出a的值，将每个测值的误差vn与a比较，当出现vn＞a时，将对应的测值xn剔除。

在使用肖维涅判据时，如果发现多个测值的误差大于a，那么只能将其中最大的一个剔除掉。然后重新计算σ，再按新的条件进行判别。注意每次判别只能去除一个最大的超判据测值，直到测值全部在判据规定的范围内为止。

为正确使用肖维涅判据，还应注意以下事项：

（1）肖维涅判据是在频率接近概率的条件下获得的，所以在N＜10时，使用该判据比较勉强。

（2）当N=185时，肖维涅判据与3σ莱特判据相当。当N＜185时，该判据比3σ判据窄。而当N＞185时，该判据比3σ判据宽。

（3）在判别过程中，如果剔除数太多时，则应怀疑误差是否按正态分布，或考察是否存在其他问题。

2.1.3 系统误差

本节主要介绍系统误差的一般处理原则，消除或减弱系统误差的方法，以及处理中的一些问题。

1. 系统误差及一般处理原则

在2.1.2节的讨论中，发现无规则的随机误差可以按概率统计的方法给予恰当的处理。而对于有规律的系统误差的处理却找不到恰当的通用方法，通常只能从经验中归纳出一些带有普遍意义的原则，按照这些原则，尽可能地减弱系统误差对检测结果的影响。这些原则是：

（1）在进行某项参量的检测之前，应尽可能地预见到一切有可能产生系统误差的因素，并针对这些不同因素，设法消除或减弱系统误差，使之达到可以接受的程度。

（2）采用一些有效的检测原理和检测方法，来消除或尽力减弱系统误差对检测结果的影响。

（3）在对检测数据进行处理时，设法检查是否有未被注意到的变值系统误差。如周期性的、渐增性的或渐减性的系统误差等。

（4）在精心采用检测设备和精心进行检测之后，应设法估计出未能消除而残留下的系统误差的大小，以及它们最终对检测结果的影响。也就是说估计出残余系统误差的数值范围以便进行必要的修正。

2. 消除或减弱系统误差的典型检测技术

为了说明在考虑检测原理时，如何尽力消除或减弱系统误差，下面以基本电量的一些直接检测为例，说明适当地选用合理的方法对减小系统误差是有利的。在光电检测技术中，也可类比应用。

（1）示零法

示零法的原理是将被检测量的作用和已知量的作用相互抵消，使它们的总效应为零。这时被测量等于已知量。

示零法测定未知电压的原理如图2-3所示。设未知电压为Ux，已知标准电池的电动势为E，通过可变电阻器R分压，经调整R1和R2之比，使得A、B两点电位相同，通过示零检流计的电流为零。则有

这就是通用电位差计的工作原理。检流计G的作用只是判断A和B两点间有无电流，可选用灵敏度高的检流计。该方法中的误差主要取决于标准电池的误差，通常标准电池的误差可以做得很小。

电工测量中的惠斯登电桥也是利用示零法的原理，如图2-4所示。当检流计示零时，则有在电阻测量的这一方法中，同样可采用高灵敏度的电流计。此外该检测的精度主要取决于标准电阻R1、R2和R3的误差。

（2）微差法

微差法检测的原理是：检测待测量x与一个数值相近的已知量N之间的差值（N-x），这时待测量x=N-（N-x）。这种方法不是彻底的示零法，常叫做虚零法，在电桥中则称失衡电桥法。

图2-5所示用来测定某稳压电源输出电压微小变动的原理示意图。这时标准电源电压U维持不变，用毫伏表代替示零检流计G作为指示器，以测定两电源电压之差Uo。

下面来估计该方法检测的相对误差。设微差或稳压电源的变动量U1和稳压输出值Ux之比为U1/Ux≈1%，即U1≈0.01Ux。检测采用精度较低的毫伏表，设其相对误差为ΔU1/U1=±5%，估算检测Ux的相对误差。

设Ux≈U，并将有关数据代入上式，则有

若标准电位的相对误差ΔU/U≪0.05%，则有

可见，检测中只用精度为5%的毫伏表，而检测结果的误差只有0.1%。也就是说，在指示仪表上直接读出了比仪表本身精度更高的结果，从而减弱了系统误差带来的影响。此外，在非完全指零的微差法中，不用可调的标准器，从而减少检测的手续，也减小了可调部分可能带来的误差。

（3）代替法

代替法的工作原理是，采用可以调节的标准器，在检测回路中代替被检测量，并且不引起测量仪器示值的改变。这时可调标准器的量值等于待测量的大小，以达到减小系统误差的目的。

例如，图2-4所示的四臂电桥中，平衡时各电阻值之间的关系为Rx=R1R3/R2。R1、R2和R3都有一定误差，设分别为Δ1、Δ2和Δ3，待测量Rx相应的误差为Δx，所以电桥平衡时参量间的实际关系是

展开上式，并略去二阶以上的小量，则近似可得

所以误差为

这时检测值Rx的误差受到R1、R2和R3误差的综合影响。

当采用代替法时，用可调标准器RN代替Rx，RN的误差为ΔN，电桥平衡时有

取可调标准电阻器的阻值RN+ΔN作为待测电阻Rx的检测值，即

这时Rx的示值精度只受标准器RN的误差ΔN的影响，消除了各电阻误差所构成系统误差对检测结果的影响。而标准器的误差可做得很小。

（4）补偿法

补偿法也是利用标准器来进行测量的一种特殊形式的代替法。它的工作原理是进行两次测量。第一次测量平衡时的关系为RN+ Rx=R1R3/R2；第二次测量去掉Rx，调整RN至，测量平衡时的关系为，待测量。

引入误差，两次测量电桥平衡时的关系为

当电阻值为RN时，设其误差为Δ0+ΔN；当电阻为时，误差为。所以有

由该结果可知，标准器误差中Δ0部分的影响完全消除了，只剩下由于阻值变化带来的误差之差值，对检测结果的影响甚小。

（5）对照法

对照法检测的工作原理是：在同一检测系统中，通过改变测量的不同安排，测量出两个结果，把它们相互对照，从中检测出系统误差。有时也可求出系统误差的大小。

例如某比较电桥R1/R2=1和一个可变标准电阻RN，用来检测未知标准电阻Rx。第一次检测时把RN放在四臂电桥的R3处，则有

第二次检测将RN和Rx对换，设将RN调至R′N时，电桥平衡，则有

若，那么有R1/R2=R2/R1=1，说明两比较臂无系统误差，于是。若RN≠，则有R1/R2=1+Δ≠1，这时可将两次检测结果相对照，即把式（2-55）和式（2-56）等号两边各自相乘

上式中不出现R1和R2，也就是说对照法消除了这两个电阻带来的误差。

如果把两次检测结果联系起来则有

所以有

通过以上的推导，找到了计算该电桥误差的方法。

对非比较电桥来说，以下两式依然成立

对照法检测可以推广到呈现出某种对称性的检测系统中去。在系统中相应地进行两次略有不同的安排，通过互相对称的测量，从两次测量的结果和它们之间的物理关系求得最终结果。这就是所谓的对称观测法或交叉读数法。

3. 系统误差处理中的几个问题

系统误差完全消除往往是不可能的，有时因相互关系复杂也很难下手进行消除。这里只是讨论系统误差处理中的几个问题，并不是一套有效的处理方法。

（1）系统误差消除的准则

这一准则主要是讨论系统误差减弱到什么程度时就可以忽略不计。

如果某一项残余系统误差或几项残余系统误差的代数和的绝对值为|δx|，而当测量总误差时的绝对值为|Δx|，那么当Δx是两位有效数字时，|δx|满足下式要求，则可舍去。

当Δx是一位有效数字时，|δx|满足下式要求，则可舍去。

上述条件的实质是，按照四舍五入的原则，上述|δx|已不构成检测误差的有效数，再进一步消除系统误差已无意义。

如果系统误差大于上述条件，又无法进一步消除时，应估计残余误差的极限值。

（2）系统误差的改正

当系统误差既无法进一步消除又不能给予舍弃时，只能按其量的大小给以改正。

设无系统误差而有随机误差时的N次测量结果为：x1，x2，…，xn，…，xN，当有系统误差Δn时，该误差可以分为系统恒差ξ0和系统对应N次测试的变差ξ1，ξ2，…，ξn，…，ξN。这时对应N次测量结果为，…，…，其中

N次检测的平均值可按下式求出

根据这一推算结果，在改正系统误差时可分两部分进行。在改正系统恒差ξ0时，可在每个检测量中减去，也可以在取得平均值后再减去恒差ξ0。在改正系统变差ξn时，可在每个测量数中按对应值进行改正。也可以在取得平均值后，按变差的平均值，即 进行修正，这是与系统恒差改正的不同之处。

（3）系统误差存在与否的检验

系统误差可以分为系统恒差和系统变差，系统变差又有许多不同类型，如瞬发系统误差、非正态分布的系统误差等。后者又可分为周期性系统变差和累进性系统变差等。这些系统误差产生的原因和性质均不相同，所以只能用不同的方法或准则来判断有无某种系统误差的存在。

当检测系统存在系统恒差ξ0时，实际测量的结果为

式中，μ为待测量的真值；ξn为随机误差量。

式（2-65）也可以写为

这时仍为正态分布。有可能把μ′认为是真值，ξn为随机误差值，这样并不能发现系统恒差的严重性。因此通常判断有无系统恒差是采用与标准值比较的方法或用标准样品进行比对来确定。

当检测系统存在瞬发系统误差ξt时，可以利用肖维涅准则进行判断和处理。

对于存在非正态分布的系统误差时，可采用前面计算平均误差的方法进行判别。

此外，对于周期性误差可利用阿贝判据判定。而对于累进性系统误差可利用马利科夫判据来进行处理。