1.6 电磁场的动量和光压[6],[7],[17],[18]

1.6.1 电磁场的动量

由力学知识可知，物体所受的力等于其动量的变化率。因此为了理解电磁场的动量，不妨先讨论电磁场对带电粒子的作用力，即洛伦兹力。根据洛伦兹力公式，洛伦兹力密度f表示为

利用场方程

从式（1.6-1）中消去ρ、j，可得

另外，再利用场方程

构造恒等式

将此式与f的表达式（1.6-4）相加得到

由矢量运算关系式

和

(▽·E)E+(▽×E)×E= (▽·E)E- ▽(E·E)-(E·▽)E[ ]

=▽·(EE)-▽(E·E)=▽·(EE)-▽·(E2I)

(▽·B)B+(▽×B)×B= (▽·B)B- ▽(B·B)-(B·▽)B[ ]

=▽·(BB)-▽(B·B)=▽·(BB)-▽·(B2I)

上面两式中，EE和BB表示两个矢量的并矢，其结果为二阶张量;I表示二阶单位张量。这部分内容涉及矢量与张量分析，在附录A.2中有简单的介绍，更详细的介绍请参阅关于张量分析方面的书籍。另外，将坡印廷矢量S对时间求偏导，则有

于是，式（1.6-8）可写为

式中

式中，g称为动量密度矢量，T为麦克斯韦应力张量。式（1.6-12）表示电磁场的动量守恒定律，后面将进一步讨论。由于电磁场具有动量，它入射到物体上时会对物体施加一定的压强，这种压强称为辐射压强。特别地，由光波产生的辐射压强称为光压。

下面具体地讨论在真空中运动的电荷受到电磁波作用的情况。假设在体积V中运动电荷的机械动量为Gm，考虑到电荷受到洛伦兹力的作用，根据牛顿定律有

式中

G为电磁场动量。式（1.6-13）是电磁场动量守恒定律的积分形式。在式（1.6-13）的推导中，利用了斯托克斯积分变换公式

如果V足够大，以致在包围体积V的封闭曲面上的场为零，此时式（1.6-13）右边的面积分为零，因此有

上式表明电荷、电流系统的机械动量Gm 与电磁场动量G之和是守恒的，但电荷、电流系统的机械动量Gm 不守恒。这是因为电荷、电流系统在与电磁场作用过程中需要不断地交换动量的缘故。如果体积V有限，在体积外仍然有电磁场存在，则式（1.6-13）右边的面积分不为零，即

或

上式左边的项表示体积V内电磁场动量的变化率;右边第一项表示带电粒子对场的作用力，右边第二项表示体积V以外的场对体积V中的场的作用力，即-n·T这一项的面积分代表体积V外的场对体积V中的场的作用力。因此该项表示法向矢量为n的单位面积上受到的应力，即

如果知道麦克斯韦应力张量T的具体数值，则根据上式可以很方便地求得物体在电磁场中受到的应力或者物体受到的光压大小。

【例1.6-1】 求平面电磁波的辐射压强。

解:如图1.6.1所示，沿x轴传播的电磁波，入射到Σ面后被完全吸收。设在Σ面上的应力张量为T，则Σ面单位面积上受到电磁波的作用力为

u为电磁波的能量密度。其中利用了电磁波的横波性，即En=Hn=0。由于电磁波是随时间变化的，因此电磁波吸收体所受到的平均辐射压强或平均光压由式（1.6-20）对时间平均得到，即

1.6.2 光压的实验验证

一般光压非常小，晴天的阳光作用在1m2的黑色物体上的压力约为0.0000047N，所以通常光压难以测量。1899年，俄国物理学家列别捷夫（П. H. Лебедев）首次对光压进行了精确的测量。为了实验的成功，他专门制造了一台灵敏度极高的扭力仪。这台仪器在测量光压时可以消除气体对流等因素影响。列别捷夫所用仪器的主要部分是一个用细线悬挂起来的极轻的悬体R，其上有小翼a和b，如图1.6-2所示。图中小翼a涂黑，另一个小翼b是光亮的。将悬体R置于一个真空容器内。借助于透镜及平面镜系统将由弧光灯发出的光线射向小翼b。作用在小翼b上的光压使悬体R转动。转动的大小，可借助于望远镜及固定在轴线上的小镜观察到。移动双镜使光射在涂黑的小翼a上。比较两种情况下悬体转动的大小，列别捷夫测得，涂黑表面所受的光压力是光亮表面所受的光压力的一半。结论与理论完全符合。

20世纪60年代，当激光作为具有极高亮度的相干光源出现后，光压的研究发生了革命性的变化。20世纪70年代初，人们开始对激光的光压进行全面和深入的研究，特别是对原子在不同条件下所受光压的性质和机理进行理论探讨和实验观测，从而发展出原子束的激光偏转、激光冷却、光子黏胶及原子喷泉等实验技术;同时利用光压进行原子俘获、粒子操纵等研究。美国华裔科学家朱棣文教授是激光冷却方面研究的先驱，并因此获得了1997年度诺贝尔物理学奖。

1.6.3 带电粒子在磁场中的总动量

假设质量为m、带电量为q的粒子在磁场中运动。利用磁场的无源性，引入矢势A，令B=▽×A，电磁场的动量为表示为

利用矢量恒等式

得到

当积分体积趋于无穷时，包围积分体积的表面处的场强趋于零，所以上式中括号内的两个面积分为零，于是有

式（1.6-25）的积分结果为

由此可知带电粒子在磁场中的总动量为

式中，v为带电粒子的运动速度。上式在量子力学中讨论带电粒子的微观运动时有重要应用。