2.2 菲涅耳公式[5],[20],[21]

2.2.1 菲涅耳公式的推导

1.电场矢量垂直于入射面的情况

下面讨论光的电矢量垂直于入射面的情况，坐标轴选法及各矢量的关系如图2.2-1（a）所示，E1s、B1p等分别表示垂直于入射面的电场强度分量和平行于入射面的磁感应强度分量，下标中的s、p分别为德文中“垂直（senkrecht）”和“平行（parallel）”两单词的首字母，其余类推。对于线偏振光，当其电矢量垂直于入射面时，称之为s光或σ光或TE波（横电波）;当其电矢量平行于入射面时，其磁矢量将垂直于入射面，则称之为p光或π光或TM波（横磁波）。任何平面波，不论其偏振状态如何，都可以分解为s光分量（TE波）和p光分量（TM波），两者在界面处的边界条件是相互独立的。

利用电场的切向分量连续条件，可得

利用磁场的切向分量连续条件，可得

根据

则磁感应强度与电场强度之间满足以下关系

由于入射光和反射光在同一种介质中，故，考虑到式（2.2-4）～式（2.2-6），可将

式（2.2-2）写成

上式两边同乘以光速c，并利用式（2.1-20）可得

在可见光范围内，一般物体的磁导率都可视为μ0，此处即μ2=μ1=μ0。联立式（2.2-1）和式（2.2-8）可得

根据斯内尔定律2，即，将其代入式（2.2-9）和式（2.2-10），得到

引入振幅反射率rs、振幅透射率ts，分别定义为

2.电场矢量平行于入射面的情况

现在讨论光的电矢量平行于入射面的情况，各矢量的关系如图2.2-1（b）所示。利用电场的切向分量连续性条件可得

利用式（2.2-3）及磁场的切向分量连续性条件可得

在上式中，根据以前的讨论，有，并假设μ2=μ1=μ0，故

根据n1sinθ1=n2sinθ2，可将式（2.2-16）和式（2.2-17）化为

引入振幅反射率rp、振幅透射率tp，分别定义为

式（2.2-13）、式（2.2-14）、式（2.2-20）、式（2.2-21）是菲涅耳在1823年（麦克斯韦的理论出现之前）由弹性波理论推得的，所以称为菲涅耳公式。为醒目起见，将这四个公式列在一起为

图2.2-2所示为振幅反射率和振幅透射率随入射角度的变化关系。

从上面的分析可以看出，光场的垂直分量和平行分量各自独立地满足反射公式和透射公式，有各自独立的传播特性，即s光和p光振动之间互不交混，这正是电磁场边界条件所要求的。

应当注意，菲涅耳公式是根据电磁场边界条件和其他一些条件得到的，现将这些条件归纳如下:

（1）适用于介质之间的界面情况，对于导电介质，如金属则不适用。

（2）适用于各向同性介质之间的界面情况，对于各向异性介质，需要引入介电张量来代替介电置此常数，得到类似但更为复杂的菲涅耳公式。

（3）在推导菲涅耳公式过程中，假设介质的相对磁导率μr=1，若介质中磁化机构的作用不能忽略，则需要考虑磁导率的影响，得到包括ε和μ的菲涅耳公式。

（4）适用于弱场和线性介质的情况，对强场和非线性介质，场量间的线性关系不再成立。

2.2.2 光强反射率与光强透射率

上面讨论了光矢量的振幅反射率和透射率。下面介绍光强的反射率和透射率。在光学中，光强（或强度）定义为平均能流密度，即

式中，<S>表示对坡印廷矢量的数值取时间平均。由于光频很高，可以不计磁化过程的影响，认为介质的磁导率μ=μ0，于是光强可写为

式中，n是介质的折射率，c为真空中的光速。

由于反射光和入射光在同一种介质中，即折射率相同，因此反射光与入射光的光强之比为相应的振幅之比的平方。若定义反射光与入射光的光强之比为光强反射率，用R表示，则光强反射率为振幅反射率的平方。根据菲涅耳公式，容易得到

此处，光强的下标与前面振幅的下标有类似的含义。

而透射光和入射光在不同介质中，因此透射光与入射光的光强之比与两种介质的折射率有关。定义透射光与入射光的光强之比为光强透射率，用T表示，则光强透射率与振幅透射率之间的关系为

图2.2-3所示为光强反射率和光强透射率随入射角度的变化关系。

2.2.3 能流反射率与能流透射率

显然，光强反射率与光强透射率之和不等于1，即Rs+Ts≠1，Rp+Tp≠1。但这不表明违背能量守恒定律，因为光强反映的是平均能流密度，而非光能量或能流。设入射光、反射光和透（折）射光的光束的截面积分别为A1、和A2，如图2.2-4所示。入射光、反射光和透射光的能流密度分别为I1、和I2，则各自的光能流分别为

入射光能流:W1=I1A1;反射光能流:;透射光能流:W2=I2A2。

定义能流反射率为反射光能流与入射光能流之比，即

注意到斜入射时，入射光的光束截面积A1与透射光的光束截面积A2之间满足

定义能流透射率为透射光能流与入射光能流之比，即

根据能量守恒定律，有

上式对s偏振光和p偏振光分别成立，故

用能流反射率和能流透射率表达，有

用光强反射率和光强透射率表达，有

用振幅反射率和振幅透射率表达，有

2.2.4 布儒斯特定律

一般来说，当自然光入射到两种介质的界面时，反射光和透（折）射光都是部分偏振光。布儒斯特（D.Brewster）在研究反射光的偏振态时发现，当入射光以某入射角θB入射时，透射光线与反射光线成90°夹角，并且反射光为振动面与入射面垂直的完全线偏振光。这就是布儒斯特定律。

根据斯内尔定律n1sinθ1=n2sinθ2。当θ1=θB时，θ2=π/2-θB，θB称为布儒斯特角，或偏振角。并且tanθB=n2/n1，故

实际上，布儒斯特定律可以从菲涅耳公式导出，根据式（2.2-20），当θ1+θ2=π/2时（此时透射光线与反射光线垂直），rp=0，即反射光的电矢量只有垂直于入射面的分量。从光的横波性可以理解布儒斯特角产生的机理。下面以洛伦兹原子模型来解释:入射光激发介质表面的原子和分子振动产生电偶极子（一对等量、异号的点电荷构成的电荷系统，若两电荷之间的距离远小于场点到它们的距离，则称为电偶极子）的辐射，即电偶极辐射。电偶极辐射中的一支在介质2中传播，形成透射光，另一支在介质1中传播，形成反射光。电偶极子振动激发的电场矢量垂直于透射光传播方向，而当入射光以布儒斯特角入射时，反射光将与透射光垂直;此时，电偶极子振动的平行分量（p分量）与反射光的传播方向一致。因电磁波是横波，电偶极子在其振动方向上的辐射为零，所以反射光中没有p光，只有s光。

2.2.5 斯托克斯倒逆关系

英国物理学家斯托克斯（G. G. Stokes）采用非常巧妙的方法得到入射光、反射光和透射光的振幅关系。假设振幅为A的一束光从介质1向介质2传播，在界面上发生反射和透射。设界面的振幅反射率为r，振幅透射率为t，则反射光和透射光的振幅分别为Ar，At，如图2.2-5（a）所示。根据光路的可逆性原理，上述过程的逆过程也是成立的，即满足时间反演不变性;换句话说，振幅分别为Ar，At的反射光和透射光沿原路返回则汇合成振幅为A的沿反向传播的入射光（即入射光的共轭光），如图2.2-5（b）所示。另外，振幅为Ar的反射光反向传播时，在界面处要反射和折射，界面的振幅反射率和振幅透射率仍然为r、t，因此将产生振幅分别为Arr、Art的反射光和透射光;而振幅为At的透射光反向传播时，在界面的振幅反射率和透射率分别为r'、t'，因此将产生振幅分别为Atr'、Att'的反射光和透射光，如图2.2-5（c）所示。

图2.2-5（b）和（c）所描述的物理图像是等效的，这就要求各振幅之间满足以下关系

即

式（2.2-46）和式（2.2-47）称为斯托克斯关系式，分别对s、p分量适用。需要指出的是，斯托克斯关系式成立的条件与特定的角度有关，因此严格地说，式（2.2-46）及式（2.2-47）应写为

式中，角度θ1和θ2满足斯内尔关系，即n1sinθ1=n2sinθ2。

【例2.2-1】 试由菲涅耳公式导出斯托克斯关系式。

先证明振幅反射率公式。由菲涅耳公式

因此r'=-r。再证明振幅透射率公式，由菲涅耳公式

因此

同理可证，1-rp(θ1)2=tp(θ1)(θ2)。于是可得r2+tt'=1。

2.2.6 相位关系

当光在介质界面反射和透射时，由于折射率为实数，故根据菲涅耳公式，振幅反射率和振幅透射率也均为实数。对于透射光，根据菲涅耳公式

上式中，θ1、θ2的取值范围均为0～90°，显然cosθ1、sinθ2、sin（θ1+θ2）、cos（θ1-θ2）均大于0。这表

明，无论界面两边的折射率大小如何，也不管入射角有多大，振幅透射率总为正数，即透射光与入射光总是同相位的。

对于反射光，其相位变化较复杂，与界面两边介质的折射率大小及入射角有很大关系。通常，将光从光疏介质（折射率较小的介质）到光密介质（折射率较大的介质）的反射称为外反射（即n1<n2时的反射）;反之称为内反射。根据菲涅耳公式

在外反射情况下，由斯内尔定律可知，无论入射角为多少，均有θ1>θ2，因此rs<0，这表明s光从光疏介质入射到光密介质时，其反射光有π相位突变，如图2.2-6（a）所示。也就是说，反射光有半个波长的光程损失，称为半波损失。但对p光来说，当入射角小于布儒斯特角θB 时，θ1+θ2<90°，rp>0，反射光无π相位突变;当入射角大于θB时，θ1+θ2>90°，rp<0，反射光有π相位突变，如图2.2-6（b）所示。

2.2.7 偏振关系

由菲涅耳公式可知，光场的垂直分量和平行分量各自独立地满足反射和透射公式，s光和p光振动之间互不交混。也就是说电矢量平行于入射面的偏振光产生的反射光和透射光的电矢量平行于入射面，电矢量垂直于入射面的偏振光产生的反射光和透射光的电矢量垂直于入射面。由于rs≠rp，ts≠tp，经过反射和透射后，反射光和透射光的偏振状态不同，并且与入射光的偏振状态也不同。

在第1章已经定义，光的电矢量与光的传播方向所构成的面称为振动面，振动面与入射面的夹角称为方位角，以α表示。一般认为，当迎着光的传播方向看时，振动面绕光的传播方向按顺时针转过的角度为正。方位角的正切是电矢量垂直于入射面的分量与平行于入射面的分量之比，即

式中α1，α1'，α2分别为入射光、反射光和透射光的方位角。由菲涅耳公式可得

因为θ1和θ2都在π/2以内，故

上式表明，同入射光相比，反射光的方位角较大，而透射光的方位角较小。

当α1=0时,1=α2=0，这是反射光与透射光的电矢量都平行于入射面的情况;当α1=π/2时，=α2=π/2，这是反射光与透射光的电矢量都垂直于入射面的情况。总结一下，得到以下几点结论:

（1）当入射角为布儒斯特角θB时，无论入射光的偏振态如何，反射光均为振动方向垂直于入射面的线偏振光，即s偏振光。以下各种情况都包括本特例，不再另外说明。

（2）当入射光为自然光时，反射光和透射光一般均为部分偏振光;并且在反射光中，s光占优，而在透射光中，p光占优。在正入射时，反射光与透射光仍是自然光。对于外反射情况，在掠入射时，反射光也为自然光。

（3）当入射光为圆偏振光时，反射光和透射光一般均为椭圆偏振光。在正入射时，若入射光为右（左）旋偏振光，则反射光为左（右）旋偏振光。

（4）当入射光为线偏振光时，反射光和透射光一般均为线偏振光，但振动面相对原入射光有一定的偏转。在内反射情况下，当入射角大于全反射角θc时，若入射光为线偏振光，并且其方位角α不为0或者π/2，则反射光为椭圆偏振光（见2.3.1节）。