1.1 麦克斯韦方程组[1～7]

电磁学的三大实验定律，即库仑定律、毕奥-萨伐尔定律和法拉第电磁感应定律构成了麦克斯韦电磁理论的重要基础。在此基础上，麦克斯韦创造性地提出了涡旋电场和位移电流假设，最终获得一组关于电场与磁场相互耦合的方程组，即著名的麦克斯韦方程组。

1.1.1 实验基础

1.库仑定律

在真空中，两个静止点电荷之间的相互作用力的大小，与它们的电量q1和q2的乘积成正比，与它们之间的距离r12的平方成反比;相互作用力的方向沿着两电荷连线的方向，同号电荷相斥，异号电荷相吸。令F12表示q1和q2的相互作用力，则用数学式表示为

式中，真空介电常数ε0=8.85×10-12 F/m，r012为由q1指向q2的单位矢量。库仑定律的推论包括:静电场的高斯定理与环路定理。

（1）静电场的高斯定理:穿过任意闭合曲面S的电位移通量等于曲面S所包围的自由电荷的代数和，即

式中，D为电位移矢量（C/m2），ρ为电荷密度（C/m3），V为闭合曲面S所包围的体积。式（1.1-2）说明静电场是有散场（即有源场）。这一点只要对式（1.1-2）应用高斯散度定理（参见1.1.3节）即可证明。

（2）静电场的环路定理:任意闭合回路L上电场强度的线积分（或环流）等于零，即

式中，E为电场强度矢量（V/m）。对式（1.1-3）应用斯托克斯定理（参见1.1.3节）可以证明静电场是无旋场。任何环流为零的矢量场称为位场或保守场，因此静电场是位场。

库仑定律及其推论适用于静电场。

2.毕奥-萨伐尔定律

为讨论方便起见，引入电流元Idl。其中，I为载流回路L中的电流（A），dl是回路L中某处的线元矢量，其大小为线元长度dl，方向为沿该处的电流方向。实验表明，电流元Idl在空间任意点产生的磁感应强度（T）dB的大小，与电流元成正比，与电流元到该点距离的平方成反比，还与电流方向和场点位矢r的夹角的正弦成正比，方向由dl×r决定。这就是毕奥-萨伐尔定律，用数学式表示为

式中，真空磁导率μ0=4π×10-7 H/m。毕奥-萨伐尔定律的推论包括磁场的高斯定理与安培环路定理。

（1）磁场的高斯定理:通过任意闭合曲面S的磁感应强度B的通量（后文简称为磁通量）为零，即

这说明磁场是无散场（即无源场）。

（2）安培环路定理:任意闭合回路L上磁场强度的环流，等于穿过以该回路为周界的任意曲面S的各支路电流强度的代数和，即

式中，Ii为穿过曲面S的第i支路的电流，H为回路L上的磁场强度（A/m）。式（1.1-6）说明磁场是有旋场，利用斯托克斯定理容易证明这点。

毕奥-萨伐尔定律及其推论适用于稳恒电流磁场。

3.法拉第电磁感应定律

当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，会在回路中建立起感生电动势，并且此感生电动势正比于磁通量对时间t的变化率的负值，这就是法拉第电磁感应定律。在国际单位制中，该定律用数学式表示为

式中，ε为感生电动势（V），ψ为磁通量（Wb）。等式右边的负号是楞次定律的反映，表示感生电动势的作用总是反抗磁通量的变化。

根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场将在周围建立感生电动势，这说明必存在某种非静电力。不妨用K表示这种作用在单位正电荷上的非静电力，于是有

法拉第电磁感应定律适用于缓变场，在高频情况下，很难用实验验证。

以上介绍的电磁学实验定律及其直接推论，是在各自特定条件下总结出来的，分别适用于静电场、稳恒电流磁场和缓变场，不具有普遍性。麦克斯韦在此基础上进一步作了理论概括，并向迅变场推广。

1.1.2 基本假设

麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念，下面分别介绍。

1.涡旋电场

当导体在磁场中运动时，导体内的自由电子将受到洛伦兹力的作用而随之运动，从而产生动生电动势。因此，洛伦兹力是产生动生电动势的非静电力。实验表明，磁场的变化将产生感生电动势，那么，导致感生电动势的非静电力又是什么呢？显然，这种非静电力不是洛伦兹力，也不是与化学势相关的扩散力。为了解释感生电动势的起源，麦克斯韦提出了涡旋电场（或感生电场）的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律给出了两者的关系，即

麦克斯韦进一步认为，不管有无导体回路存在，变化的磁场所激发的涡旋电场总是客观存在的。空间有两种形式的电场，即由电荷激发的静电场和由变化的磁场激发的涡旋电场。引入涡旋电场后，可以将静电场的环路定理推广到包括非稳定场在内的普遍情况，即

式中的电场E为总电场，包括静电场和涡旋电场，即E=E静电+E涡旋。

2.位移电流

在稳恒电路中，传导电流是处处连续的。在这种电流产生的稳恒磁场中，安培环路定理可以写成

但在非稳恒电流情况下，安培环路定理遇到困难。以平行板电容器的充放电过程为例，如图1.1-1所示。对整个电路来说，传导电流是不连续的。对于同以回路L为周界的面S1 和S2来说，穿过S1的电流为I，而穿过S2的电流为零，这显然违背了安培环路定理。

为了解决电流不连续的问题，使安培环路定理对非稳恒电流产生的磁场也成立，麦克斯韦提出了位移电流的概念。通过分析电容器充放电的过程可以发现，虽然传导电流在电容器两个极板之间中断了，但与此同时，两个极板之间却出现了变化的电场，并且

可见，两极板之间电位移通量对时间的变化率，在数值上等于电路中的充电电流强度。并且还可看出，当电容器充电时，极板间dD/dt的方向也是由正极板指向负极板，与电路中传导

电流密度的方向相同，如图1.1-1所示。

因此，麦克斯韦把变化的电场假设为电流，引入了位移电流的概念，令位移电流强度为

相应的位移电流密度为

即通过电场中某截面的位移电流强度等于通过该截面的电位移通量的时间变化率，电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量的时间变化率。对于普遍的情况，麦克斯韦认为传导电流和位移电流都可能存在。于是，他推广了电流的概念，将两者之和称为全电流。对于任何回路，全电流是处处连续的。运用全电流的概念，可以将安培环路定理的应用范围自然地推广到包括非稳恒磁场在内的普遍情况。在一般情况下，安培环路定理被修正为

由此可见，位移电流的引入深刻地揭示了变化的电场和变化的磁场之间的内在联系。在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可以激发电场，变化的磁场也可以激发电场。在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为两种电场强度之和。稳恒电流可以激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。在一般情况下，空间任一点的磁感应强度也应该表示为两种磁感应强度之和。

1.1.3 麦克斯韦方程组

1.积分形式

麦克斯韦系统地总结了电学、磁学方面的实验规律，并提出了涡旋电场和位移电流的概念，成功地将静电场的环路定理和稳恒电流磁场的环路定理推广到包括迅变场在内的普遍情形。

在没有自由电荷的空间，由变化的磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有

在静电场中，有

式中，ε为介质的介电常数。于是，可以将静电场的高斯定理推广到任意电磁场的普遍情况，即

式中，E为总电场，包括静电场和涡旋电场，即

变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合曲线。因此，磁场的高斯定理对位移电流产生的场仍适用，即

式中，B为总磁感应强度，包括位移电流产生的磁感应强度和传导电流产生的磁感应强度，即

根据上面讨论可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们相互激发，彼此耦合成统一的电磁场。电磁场的性质可以由电场的环路定理和高斯定理，以及磁场的环路定理和高斯定理描述。由此得到一组四个数学方程式，即麦克斯韦方程组。由上面的分析，直接可获得麦克斯韦方程组的积分形式为

式（1.1-22a）是法拉第电磁感应定律的积分表示，式（1.1-22b）是安培环路定理的积分表示，式（1.1-22c）和式（1.1-22d）分别是电场的高斯定理和磁场的高斯定理的积分形式。

2.微分形式

从上面介绍的麦克斯韦方程组的积分形式可以直接导出其微分形式，推导过程需要借助两个重要的数学定理，即高斯散度定理和斯托克斯定理。

高斯散度定理的数学表述为

斯托克斯定理的数学表述为

这里要求矢量F的各分量及其一、二阶导数连续。一般地，电磁场涉及的各场矢量都满足该条件。

对式（1.1-22a）运用斯托克斯定理可得

因此有

该式对以L为边界的任意曲面均成立，因此被积函数必定为零，于是有

类似地，对其余麦克斯韦方程式运用高斯散度定理或斯托克斯定理可得到各自的微分形式，即

3.电流的连续性方程

从麦克斯韦方程组可以得到电流的连续性方程。对式（1.1-27b）两边取散度，可得

一般地，D为时间和空间的连续函数，因此对时间和空间坐标的求导顺序可交换，于是有

根据式（1.1-27c），借助于矢量分析恒等式▽·▽×H=0，可以得到

这就是电流的连续性方程的微分形式。将上式两边进行积分，可得

这里通过利用磁场的旋度式（1.1-27b）和电场的散度式（1.1-27c）导出电流的连续性方程。实际上，电流的连续性方程可以由实验获得，能作为独立方程。在接下来的讨论中将发现，可以利用电流的连续性方程和磁场的旋度式导出电场的散度式。

4.麦克斯韦方程组的独立性[3]

麦克斯韦方程组的四个微分方程不是完全独立的。可以证明，其中两个散度方程可以由两个旋度方程和电流连续性方程导出。事实上，对式（1.1-27b）两边取散度，可得

考虑到电流连续性方程，则上式变为

交换空间坐标和时间的求导顺序可得

上式说明括号中的项不随时间变化。若在空间某处取一个特定值，该值在任意时刻均取同样值，那么显然只有取零，才符合物理事实。因此得到

同理可得

从上面的讨论知道，麦克斯韦方程组不独立，不妨取两个旋度方程和电流连续性方程作为独立方程。这样，若将这三个方程写成分量形式，则可得到7个标量方程。这些方程描述了电磁场中的基本量E、H、D、B、ρ、j之间的关系，其中包括5个矢量和1个标量。5个矢量的各分量构成15个标量，因此场量的基本量中包含16个标量。显然，7个独立的标量方程，不足以确定16个未知标量。从数量上来看，还需要增加9个标量方程，才能达到方程数与未知标量相等的要求。事实上，为了能确定各种场量，必须知道在充满电磁场的空间中介质的特性。描写电磁场中介质特性的方程称为本构关系（或物质方程）。

1.1.4 本构关系[1],[5～7]

当电磁波传播的空间充满介质时，电磁场将与介质相互作用，使介质产生极化和磁化。如果介质中存在导电粒子，还会产生电流。下面通过讨论介质的极化、磁化，以及导电过程，引入各类本构关系。

1.介质的极化

当介质不导电时，称其为介质。介质受到电场的作用，正负电荷发生相对位移，或者极性分子（原来正负电荷中心不重合的分子）的取向从无序状态变成有一定倾向性的状态，这种现象称为介质的极化。由于发生了极化，介质内部不均匀处和表面处便出现净的束缚电荷，这种束缚电荷称为极化电荷。在介质均匀的地方，假定介质原来是电中性的，极化后正负电荷只拉开微小距离，在宏观尺度上正负电荷仍然均匀分布并互相抵消。因此，极化电荷只存在于介质不均匀处或界面处。外电场激发出极化电荷，反过来极化电荷也会激发出电场，使介质极化的电场实际上是外加电场和极化电荷激发的电场之和。由电场的高斯定理，有

式中，ρf和ρp分别表示自由电荷密度和极化电荷密度。可以证明[6],[7]，极化电荷密度ρp与极化强度P满足

将其代入式（1.1-36）得

对各向同性的均匀介质，最简单的模型是假设P正比于电场E。定义其比例系数为χeε0，χe称为介

质的极化率。引入一个辅助量，即电位移矢量D，它表示为

式中，εr=1+χe，εr称为相对介电常数，而ε=ε0εr称为介质的介电常数，它是重要的物性参数。引入介电常数ε可以使我们在计算介质静电场特性时避免涉及介质内部极化的细节。需要指出的是，式（1.1-39）只在缓慢变化的外场下对某些介质近似适用。对高频电磁场，介电常数一般明显依赖于频率。对各向异性的材料，要把式（1.1-39）推广为

这时E与D之间需要借助于张量εij来联系，εij称为介电张量。对非线性介质，需要考虑高阶项，即

式中，εijk和εijkl为非线性介电张量。

2.介质的磁化

介质中存在大量的的微观磁矩。这些微观磁矩是电子的轨道磁矩和自旋磁矩及原子核磁矩共同贡献的。一般地，在没有外磁场时，微观磁矩杂乱无章排列，因而磁矩相互抵消，在宏观尺度上磁矩为零。在外磁场中，有序的微观磁矩能量比无序的低，导致宏观磁矩的出现，即介质发生磁化。在介质的宏观磁矩模型中，用假想的磁化电流解释产生磁化的原因。

假设自由电子运动产生的宏观稳恒电流密度为jf，它也称为自由电流密度。另外介质由于磁化而在表面形成磁化电流密度jm。由安培环路定理可知

可以引入磁化强度M来描写介质磁化的强弱程度，并将其定义为单位体积内微观磁矩的矢量和。不难证明磁化强度M与磁化电流密度jm 满足[6],[7]

将其代入式（1.1-42）得

引入磁场强度H，其定义为

对于各向同性的非铁磁物质，简单的线性模型给出

式中，χM 是一个物性参数，称为磁化率。因此

引入磁导率μ，其定义为

μr=1+χM 称为相对磁导率。于是式（1.1-47）写成

从物理本质上看，E和B是电磁场的基本物理量，而D和H是辅助物理量。物性参数ε和μ并不能适用于所有的情况。当电磁场变化很快时，它们会改变。另外它们还会依赖于温度等其他物理量。

3.不同介质中的本构关系

前面介绍了描述物质在电场和磁场影响下的一些特性，得到相应的本构关系，即

当介质导电时，还要加上一个场与导体的作用方程，即欧姆定律的微分形式

σ为介质的电导率。上面三个矢量方程称为本构关系，共包含9个标量方程。可见，麦克斯韦方程组加上本构关系，总共有16个标量方程。这样，场方程可以完全求解了。

在一般情况下，介电常数和磁导率与场强无关，本构关系具有上面几个公式所表达的简明形式。然而在有些情况下，材料的特性却不能这样简单地描述，如对铁磁体来说，磁感应强度矢量B与介质磁化的历史有关，而不取决于H的瞬时值。不过，在光频范围内，对于大多数光学应用材料，可近似认为μr=1。这主要是因为光频太高，介质中的磁化机构来不及响应。

下面列举一些介质中的本构关系。

（1）均匀、各向同性介质:对于各向同性介质，介电常数和磁导率为标量。本构关系简单地写为

在各向同性介质中，电场强度E与电位移矢量D平行，磁场强度H与磁感应强度B平行。特别地在真空中，有

（2）非均匀、各向同性介质:在这种介质中，介电常数与磁导率是位置的函数，本构关系可表示为

（3）均匀、各向异性介质:一般介质的介电常数ε及磁导率μ均为二阶张量，分别称为介电张量和磁导率张量。本构关系可表示为

D= [εij]E（i，j=1，2，3;1，2，3分别代表x，y，z）

或

在各向异性介质中，电场强度E与电位移矢量D通常不再平行;同样，磁场强度H与磁感应强度B一般也不平行，并且H与B之间有类似于式（1.1-59）的关系。

（4）非均匀、各向异性介质:在非均匀、各向异性介质中，介电张量是位置的函数，即

（5）非线性介质:当场非常强时，本构关系的右边需要添加与场强的高次方有关的项，这些项与一些非线性的光学效应相关。在非线性介质中，本构关系表示为

等分别表示线性极化率、二阶及三阶非线性极化率等;等分别表示线性磁化率、二阶及三阶非线性磁化率等。

（6）双各向异性介质:一般地，介质在电场中将被极化，在磁场中将被磁化。在双各向异性介质中，介质在电场或磁场中，将同时被极化和磁化。双各向异性介质的本构关系为

其中，[ξij]和[ζij]称为磁电张量。

1960年，Astrov通过实验发现反铁磁物质氧化铬是一种双各向异性介质。1964年，Rodo发现铁磁物质的镓铁氧化物也是一种双各向异性介质。一些手征（或手性）介质，如氨基酸、DNA等物质，具有如下本构关系

其中，χ是手征参数。这种介质同样具有双各向异性。

当介质运动时，将呈现双各向异性。实际上，电磁理论首次关于双各向异性研究的对象就是运动的介质。1888年，伦琴发现在电场中运动的介质被磁化。1905年，威尔逊证明在均匀磁场中运动的介质被极化。

1.1.5 边界条件[2]

当介质的物理性质连续变化时，场量E、H、D、B也连续变化，各场量的空间导数存在，麦克斯韦方程组成立，通过求解麦克斯韦方程组及本构关系，可以唯一确定各种场量。当介质的物理特性发生突变时，在不同介质边界处，场量E、H、D、B也将变得不连续，且电荷密度ρ和电流密度j退化成相应的面密度。在这种情况下，在边界处各种场量间将满足怎样的关系？若假定麦克斯韦方程组的积分形式对各种介质均成立，则从麦克斯韦方程组的积分形式可以推导出边界条件。

如图1.1-2所示，在边界处取一个薄圆柱体作为高斯面，圆柱体的高度δh趋于零，圆柱体的侧面对磁通量的贡献可以略去，设上下底面的面积相等，即δA 1=δA 1=δA，则由式（1.1-22d）可得

即

同理，由式（1.1-22c）可得

其中ρS为电荷面密度，由上式可得

如图1.1-3所示，在边界处取一个矩形回路ABCD，则由式（1.1-22a）可得

令其两个侧边AD和BC趋于零，则AD和BC边的线积分为零，并且由于矩形面积趋于零，则上式右边的面积分趋于零，于是有

式中，dl=dlτ，τ为切向单位矢量。上式对切平面任意方向均成立，因此用切平面的法向单位矢量n表示为

同理，根据式（1.1-22b）

考虑到在边界处，电流密度j退化为电流面密度jS，故

若边界处没有自由电荷、电流分布，则得到四个边界条件为