从交换房间到挽救生命

住宅市场模型简单有趣，但实际应用中与之相符的情况少之又少。特别是日本不同于美国，住在学生宿舍的学生不多，所以房间交换的话题很难引起共鸣。

沙普利和斯卡夫1974年的论文发表后很长一段时间，即使是在学术界，住宅市场模型也没被视为具有高度实用性的研究课题。

相对于经济学关心的其他课题，房间交换只是一个很小的课题，比起财政政策、金融政策、增长战略及社会保障等重大课题而言，它会让人觉得无关紧要。

继续研究这个“无关紧要”的问题的是出生于土耳其的研究人员阿提拉·阿布杜卡迪罗古路（Atila Abdulkadiroğlu）和森梅兹等人，他们对住宅市场模型进行了补充和扩展，这一课题后来又和肾脏移植匹配联系起来。

通常的市场模型，只考虑在已有房间的学生（住户）之间进行房屋交换的问题。而阿布杜卡迪罗古路和森梅兹不只考虑现有住户，还将空房间和新的宿舍入住者纳入研究，对住宅市场模型做了补充，同时也对TTC算法进行修正以使其在新的情况下发挥作用。

他们的论文题目是《有住户时的住宅分配》（House Allocation with Existing Tenants），公开发表在1999年的《经济学理论》（Journal of Economic Theory）上。

我在前面说过，学生宿舍房间交换在用经济学处理的课题中只是细枝末节。为了让只能解决这种交换问题的住宅市场模型能够解决更大的问题，一般经济学家可能会将其扩展到不动产市场上。

但是森梅兹他们不这样考虑，而是把学生宿舍房间交换作为一个特例，深入研究和修正算法。从他们的论文标题“有住户时的住宅分配”中可以感受到他们的雄心壮志。

回到肾脏移植匹配的话题，有住户时的住宅分配问题对应到肾脏移植匹配中可以这样理解：

●住户=患者

●住户的房间=针对某个特定患者的捐献者

●空房间=捐肾（例如死者捐献的肾脏）

●新的入住者=没有捐献者的患者

但是肾脏移植匹配与有住户时的住宅分配问题不同，存在其特殊性。最重要的一点就是空房间（捐肾）的数量很少，另外捐肾不是一开始就有的，而是偶尔有人提供的。

罗斯等人将TTC算法普及到肾脏移植匹配的应用中，该想法根据阿布杜卡迪罗古路和森梅兹所创的修正版TTC算法而来。下面介绍一下他们所创的修正版算法：现在已经拥有自己的房间的是学生1、2、3、4；要新入住的是学生5、6、7，空着的是房间5、6、7，学生们的偏好如下表所示：

可能有人会简单地认为，可以不管那些已经入住的学生，仅需要考虑将房间5、6、7分配给学生5、6、7即可。但是这种做法会使分配缺乏效率。

例如分配给学生5房间5、学生6房间7、学生7房间6，在得到的分配上画○就是下表：

这个结果不满足帕累托最优。因为如果学生1、4、5在此基础上交换房间，像□所示的那样，那么在所有人都可以变得更幸福的同时，也不会有人的情况变差。也就是说从一开始就将现有住户包含在内考虑如何分配房间的做法，对所有人来说都能得到更满意的房间。

与沙普利和斯卡夫的住宅市场模型的不同之处在于学生5、6、7一开始并没有自己的房间。这种情况下随机抽签选择空房间的优先顺序是学生5、6、7。

可能还有已有房间的住户希望搬到空房间，他们也要参与抽签，假设他们抽签的优先顺序为1、2、3、4，但排在新入住的人后面。也就是说对于空房间，按照入住者5、6、7、1、2、3、4的顺序挑选。可归纳为上表。

这个顺序只是举一个例子，实际上怎样决定都可以。但是符合常识的做法是这样的：

●将新入住的人排在已经入住的人前面

●对新入住的人通过抽签决定顺序，现在已入住的人也一样

接下来我们一边修正TTC算法，一边使用它。在此过程中，学生选定房间，房间也指定学生。房间按照以下规则指定学生：

●规则1 现已有人住的房间，指定该既有住户。

●规则2 现在空着的房间，按照指定优先顺序最高的学生。

另外为了在书写上严格区分学生和房间，我们用画上方框的数字表示房间（例如□1就是房间1）。

准备说明完成。与沙普利和斯卡夫的住宅市场模型相比，这个模型更复杂，例如也让房间指定住户，等等。接下来在运用算法的过程中大家就会明白这些多出来的设定的意义。

○第一轮

每个学生指出自己最满意的房间，房间按照规则1和规则2指定学生：

形成了循环，

按照这个循环，学生1得到房间5，学生5得到房间4，学生4得到房间1，他们可以退出了。

○第二轮

现在剩下学生2、3、6、7，房间2、3、6、7。学生指出其中自己最满意的房间，房间按照规则1、2指定学生：

形成两个循环：

按照该循环，学生2得到房间3，学生3得到房间2，学生6得到房间7，他们也可以退出了。

○第三轮

现在只剩下学生7和房间6，指定是：

形成循环

学生7得到了房间6，演算过程结束。

归纳一下以上结果：

阿布杜卡迪罗古路和森梅兹对TTC算法进行了上述修正，即使出现空房间（房间5、6、7）和新入住者（学生5、6、7）也可以应用。

对应到肾脏移植匹配中是这样的：

●学生1到学生4=有捐献者的患者

●房间1到房间4=学生1到4的捐献者

●学生5到7=没有捐献者的患者

●房间5到7=捐肾（例如死者捐献的肾脏）

但是捐肾的数量并不充足，所以患者无法马上获得捐肾。因此他们实际上得到的不是捐肾，而是列入等待捐肾的患者名单（靠前位置）的权利。

这里采用的不是原始的TTC算法，而是它的修正版。在市场设计的实际运用中很少有原封不动采用某个著名算法的情况，因为需要考虑捐肾逐个出现这一特殊情况。

这类似于建造房屋时基本布局确定后仍需调整收纳面积、地热安装位置，如果是暴雪地区的话，还要使房檐朝南倾斜。针对这些情况都要有量身定制的设计。

“定制”这样的词出现在经济学中或许让人意外，其实经济学知识也可以像土木工程一样应用在我们身边。