3.5 离散哈达玛变换

哈达玛（Hadamard）变换与沃尔什变换十分类似，就其本质而言，哈达玛变换是一种特殊排序的沃尔什变换。因此，有的书上称为沃尔什－哈达玛变换。哈达玛变换矩阵也是一个仅包括+1和—1两个矩阵元素的方阵，任意两行或两列相乘后的各数之和必定为零，即不同的行或不同的列之间都彼此正交，哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换不同之处仅仅是行的次序不同。哈达玛变换的最大优点在于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以通过低阶矩阵求出。因此，许多人基于这个特点更愿意应用哈达玛变换。

3.5.1 一维离散哈达玛变换

1. 一维哈达玛正变换

设f（x）表示N点的一维离散序列，则一维哈达玛变换定义为

其中，g（x，u）是一维哈达玛变换的核，定义为

式中，u=0，1，2，3，…，N—1；x=0，1，2，3，…，N—1。N是哈达玛变换的阶数，N=2n。bi（z）是z的二进制数的第i位数值，取值为0或1。

2. 一维哈达玛逆变换

若已知N点的一维离散序列F（u），则可以进行哈达玛逆变换，其定义为

与正变换相同，h（x，u）是一维哈达玛逆变换的核，逆变换核与正变换核相等，即

哈达玛变换的阶数具有规律性，即按照N=2n规律递升，高阶哈达玛矩阵可以通过低阶哈达玛矩阵的克罗尼科积运算求得。为了表示方便，一般将哈达玛变换系数作为前置系数，不同阶的哈达玛矩阵具有如下关系：

（1）H1=［1］

（2）

（3）

（4）

采用上述规律求哈达玛变换矩阵要比直接用哈达玛变换核求矩阵快得多，此结论提供了一种快速哈达玛变换，也可称为FHT。例如，根据哈达玛矩阵的运算规律，可以得出8阶哈达玛矩阵为

还有一种常用的哈达玛变换称为定序哈达玛变换，定序的哈达玛变换是由前面介绍的哈达玛变换演变而来。在哈达玛变换矩阵中，通常将某一列元素符号改变的总次数称为这个列的列率。则前面给出的N=8时的变换矩阵H8的8个列的列率分别为0、7、3、4、1、6、2、5。而下面要介绍的定序哈达玛变换的变换矩阵的列率是随u的增加而递增的。例如N=8时，定序哈达玛变换矩阵的列率从第1列到第8列分别为0、1、2、3、4、5、6、7。

当N=2n时，定序哈达玛正变换核和逆变换核相同，其变换核为

pi（u）按以下递推关系求得

因此，定序的哈达玛正反变换对为

例3-7：根据定序的哈达玛变换核，求8阶哈达玛变换矩阵。

由于定序哈达玛变换的列率是递增规律，因此，8阶哈达玛变换矩阵为

3.5.2 二维离散哈达玛变换

一维哈达玛变换可以很方便地推广到二维，其正变换定义为

逆变换为

二维哈达玛正变换的核为

其中，x，u=0，1，2，3，…，M—1；y，v=0，1，2，3，…，N—1。

二维哈达玛逆变换核与正变换核相等，即

二维哈达玛变换核是可分离和对称的，因此一次二维哈达玛变换也可分为两次一维哈达玛变换的计算而实现。二维哈达玛变换也有相应的定序的哈达玛变换，与一维情况类似，只需将二维正反变换定义中的bi（u）或bi（v）改为对应的pi（u）或pi（v）即可。

根据运算原理，哈达玛变换矩阵具有简单的递推关系，且正、反变换矩阵完全相同，只包含实数的加、减法运算而没有复数的乘法运算，使得计算速度快、存储空间少，有利于硬件实现，对实时处理和大量数据操作具有特殊吸引力，因此获得了广泛的应用。如通信领域中的多路数字通信系统、语音加密、视频编码系统、雷达系统、图像通信系统；在信号处理领域中的信号分析与综合、功率谱分析、模式识别、图像处理。特别是在图像传输、存储系统中，用于图像压缩非常有效。该变换虽然具有上述许多优点，但与建立在正弦函数基础上的傅里叶变换相比，哈达玛变换在理论上和实践上还有一些问题需要进一步的研究。如相关与卷积的运算，如何从经济上和技术上解决以矩形波为基础的设备，来取代现有以正弦波为基础的大量设备等问题。