1.3　n阶行列式

在给出n阶行列式的定义之前，先来回忆一下二阶和三阶行列式的定义.有

以三阶行列式为研究对象：

从形式上看，三阶行列式是上述特定符号表示的一个数，这个数由一些项的和而得：

（1）项的构成：取自不同行和不同列的元素的乘积；

（2）项数：三阶行列式是3！项的代数和，每项的一般形式可以写成，其中j1，j2，j3为1，2，3这三个数做成的某一个排列；

（3）项的符号：取j1，j2，j3的全排列给出全部项，a1j1a2j2a3j3项的符号为，即当行标按照标准排列排定以后，符号由列标排列j1j2j3的奇偶性决定.

由三阶行列式验证有：

带正号的3项列标排列是：123，231，312，均为偶排列；

带负号的3项列标排列是：132，213，321，均为奇排列.

由以上分析，三阶行列式可以简记为

其中 表示对1，2，3三个数的所有排列j1j2j3求和.

定义1　用符号

表示的n阶行列式指的是n！项的代数和，这些项是一切可能取自（1.8）的不同行不同列上的n个元素的乘积 .项 的符号为 ，也就是说，当j1j2…jn是偶排列时，这一项的符号为正；当1j2…jn是奇排列时，这一项的符号为负.即

这里 表示对所有n级排列求和.

定义表明，为了计算n阶行列式，首先作所有可能位于不同行不同列元素构成的乘积，把构成这些乘积的元素按行标排成自然顺序，由列标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.

下面给出另一形式的n阶行列式定义.

在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把每一项元素按行标排成自然顺序.事实上，数的乘法运算是满足交换律的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成

其中i1i2…in，j1j2…jn是两个n级排列.利用排列的性质，（1.10）式的符号等于

按（1.11）式来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行标与列标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列标排起来，于是定义3.1又可以写成：

定义2　n阶行列式也可定义为

其中i1i2…in为1，2，…，n这n个数码做成的某一个排列.

例1　计算对角行列式（主对角线以外的元素全为零的行列式）

解　利用行列式的定义易得D=λ1λ2…λn.

例2　计算行列式

解　由定义1，和式中仅当j1=n，j2=n-1，…，jn-1=2，jn=1时，

所以 ！.

一般地，次对角行列式.

例3　计算上三角行列式（主对角线以下的元素全为0）.

解　由定义1，行列式中仅当i1=1，i2=2，…，in-1=n-1，in=n时，

例4　类似上三角形行列式的计算方法，计算下三角行列式（主对角线以下的元素全为0）.

解　类似上三角形行列式的计算方法，D=a11a22…ann.

以上三种行列式，对角行列式（例1）、上三角行列式（例3）、下三角行列式（例4）都等于主对角线上元素的乘积.

容易看出，行列式是一个数，这是行列式的本质.