2.8 两个重要极限之二
下面我们会仿照上面的例子来比较
和
的大小。
有一种不严谨但易于理解的说法是：函数y=sinx和y=x在x→0时非常接近，所以它们是等价无穷小，也可以写成
。其不严谨之处就在于，很难证明y=sinx和y=x函数在x→0时非常接近。
而较为严谨的证明过程，应参照图2-9来进行：
图2-9
显然，∠BOA小于九十度。我们过去学到的，形为“九十度”的表示方法叫做角度制。角度制是指将一个圆周等分成三百六十份，每一份便被称为一度的角。这种表示方法有个不可避免的缺点，就是难以和圆的相关公式更直接地产生关联。于是就产生了 弧度制注23。弧度制是指，以角的顶点为圆心画一个半径为1的圆。用角所对应的弧长长度表示角的大小的单位制。
在图中，存在SΔAOB＜S扇形AOB＜SΔAOD，这里S表示某一图形的面积。
根据 计算注24，我们可以用
表示SΔAOB。同理我们分别用
和
表示S扇形AOB和SΔAOD。
所以，我们可以把SΔAOB＜S扇形AOB＜SΔAOD写成
。消去分母后，该不等式变为：
sinx＜x＜tanx
之后只需为不等式各项都除以一个sinx，即可得到：
经整理后，有：
一些读者可能会对为什要这样整理产生疑问。一种解释是因为在书写上cosx比
更为美观。但这种解释缺乏严谨性和说服力。另一种解释较为复杂，简而言之是因为cosx和
都是偶函数，所以不需要考虑x的值是正数还是负数。
根据cosx的函数图像可知：
。既然当x→0时，的取值范围是从cosx到1。我们就可以说
。这就是我们的另一个重要极限。当然我们也可以通过观察图2-10，即
的函数图像得知这一点。
图2-10
也许有读者要问，既然可以通过函数图像得知，那么为什么一定要采用大段的证明呢？这是因为在这些理论被提出的时代，还没有计算机，更不要说是能够自动生成函数图像的软件。如果想重现那不借助函数图像的证明方法，就必须要证明
，相关的内容我们会留到第3章再做说明。