第4章附录　需求理论——一种数学的处理方法

课后练习题详解

1．下面的效用函数中哪些符合凸的无差异曲线，哪些并不符合？

（1）；

（2）；

（3），式中是和两个数值中的最小值。

答：（2）中效用函数符合凸的无差异曲线，（1）和（3）中的都不符合。

三者的无差异曲线分别如图4-1（1）、4-1（2）和4-1（3）所示。

图4-1（1）  效用函数（1）的无差异曲线

图4-1（2）  效用函数（2）的无差异曲线

图4-1（3）  效用函数（3）的无差异曲线

2．证明下面的两个效用函数导出的商品和的需求函数是相同的。

（1）；

（2）。

证明：用和分别表示商品的价格和数量，和分别表示商品的价格和数量，用表示收入。

（1）效用函数为：。

预算约束方程为：。

对应的拉格朗日函数为：

就和求的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：

通过解上面三个方程，可以得到需求函数：

（2）预算约束方程为：。

效用函数为：。

对应的拉格朗日函数为：

就和求的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：

通过解上面三个方程，可以得到需求函数：

所以，两个效用函数导出的是相同的需求函数。

3．假设效用函数由给出，如本章附录第1题（3）中的那样。那么将因为价格的变化而引起的需求的变化进行分解的斯拉茨基方程是什么呢？什么是收入效应？什么是替代效应？

答：斯拉茨基方程是：

其中第1项是替代效应，第2项是收入效应。由于这一类型的效用函数，即完全互补型产品不存在作为价格变化的替代，所以替代效用为零。因此，此时的斯拉茨基方程改写为：。

如图4-2所示，X的价格下降，使得消费者的预算约束线围绕Y轴向外旋转到，作与原无差异曲线相切并与新预算线平行的补偿预算线。因、与相交于同一点，因此可知替代效应为0。替代效应则是由预算线从移动到决定的，即与的交点和与的交点之间所对应的X需求量的增加。

图4-2

4．莎伦有如下的效用函数：

式中，是她对棒棒糖的需求量，美元，是她对浓咖啡的需求量，美元。

（1）推导莎伦对棒棒糖和浓咖啡的需求函数。

（2）假定其收入为100美元，莎伦会消费多少棒棒糖，多少浓咖啡？

（3）收入的边际效用为多少？

解：（1）莎伦的效用最大化问题为：

对应的拉格朗日函数为：。

效用最大化的一阶必要条件为：

  ①

  ②

 ③

联立解得：

（2）假定其收入为100美元，即。

所以，莎伦会消费75个单位的棒棒糖，8.3个单位的浓咖啡。

（3）①②联立可得：，将相关数据代入可得收入的边际效用为。这一数据表明随着莎伦消费增加一美元，其效用增加0.058。

5．莫里斯的效用函数如下：

式中，为他对CD的消费量，价格为1美元；为录像带的消费量，租金价格为2美元。他计划在这两种形式的娱乐上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD与录像带租赁数量。

解：莫里斯的效用最大化问题为：

拉格朗日方程为：

效用最大化的一阶条件为：

　 （1）

  （2）

　  （3）

从而可得最优的CD与录影带租赁数量分别为：。