五、证明题

1．设消费者所消费的两种商品组合集和分别代表两个不同的效用总量和（亦即）。求证：这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面上不相交。

证明：假设这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面上相交，交点为点，如图3-10所示。点对应的两种商品的消费量分别为和。

根据无差异曲线的定义，由无差异曲线可得两点的效用水平是相等的，由无差异曲线可得两点的效用水平是相等的。因此，根据偏好可传递性的假定，必定有和这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中和这两点的商品组合，可以发现组合中每一种商品的数量都多于组合。因此，根据偏好的非饱和性假定，必定有点的效用水平大于点的效用水平。

图3-10  任意两条无差异曲线不能相交

此时产生矛盾：该消费者在认为点和点无差异的同时，又认为点要优于点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交是错误的。所以，这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面上不相交。

2．证明：如果某消费者对商品和商品的效用函数为：

则对该消费者来说，商品和商品之间存在完全替代的特性。

证明：完全替代品是指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，商品的边际替代率为非零常数，无差异曲线是一条直线。存在完全替代时，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。

商品的边际替代率可以表示为：

根据已知的效用函数可知，商品、商品的边际效用分别为：

因此，该消费者消费商品、商品的边际替代率为：

由于商品、商品的边际替代率为1，因此，对该消费者来说，商品和商品之间存在完全替代的特性。

3．证明：如果预算线给定，一条无差异曲线与其相切。试证明，切点的坐标为最优商品组合，切点为消费者均衡点。

证明：（1）如图3-11所示，不妨假设预算线的斜率为-1，切点的坐标为。由于点为与线的切点，所以在点有，而在点左上方有，点右下方有，其中，

。

图3-11  消费者最优选择

（2）在点左上方的点与没有交点和切点，只与有交点。由图3-11可知，在点有。

设，则从不等式右边看，在市场上，消费者减少消费1单位可获得1单位；从不等式左边看，依消费者意愿，他减少消费1单位，只需多消费0.5单位，即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位、多消费1单位，就可用弥补少消费的损失后还额外多获得0.5单位的效用，因而总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购买、少购买。可见，点不是最优组合。

（3）在点右下方的点与没有交点和切点，只与有交点。在点处，有。

设，此时，从不等式右边看，在市场上，消费者减少消费1单位可获得1单位；从不等式左边看，依消费者意愿，他减少消费1单位，只需多消费0.5单位，即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位、多消费1单位，就可用弥补少消费的损失后还额外多获得0.5单位的效用，因而总效用增加。这时，理性的消费者一定会多购买、少购买。可见，点也不是最优组合。

可见，点左上方、右下方都没有最优商品组合点，所以点本身就是最优商品组合点。由于点是消费者效用最大点，并且在预算线上，所以点就是消费者均衡点。

4．已知消费者对两种商品和的效用函数为：

预算约束方程为：

其中，为消费者的收入；、分别为两种商品量和的市场价格。求证：在效用最大化条件下，消费者对这两种商品的需求函数分别为和。

证明：消费者效用最大化的一阶条件为：

其中，，。

将边际效用函数代入一阶条件，可得：

将上式代入预算约束方程，可得：，。