第9章　数项级数

9.1　复习笔记

一、数项级数的收敛性

1．相关定义

（1）无穷数项级数

设x₁，x₂，…，x_n，…是无穷可列个实数，称它们的和为无穷数项级数（简称级数），记为

称为数项级数的部分和数列．

（3）级数的收敛与发散

如果部分和数列{S_n}收敛于有限数S，则称无穷级数收敛，且称它的和为S，记为如果部分和数列发散，则称无穷级数发散．

2．级数的基本性质

（1）级数收敛的必要条件

设级数收敛，则其通项所构成的数列是无穷小量，即．

注：只是级数收敛的必要条件，而非充分条件．

（2）线性性

设，α，β是两个常数，则

（3）定理

设级数收敛，则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变．

二、上极限与下极限

1．数列的上极限和下极限

（1）相关定义

①在有界数列的一个极限点．

②记是的极限点}，则E显然是非空的有界集合，因此，E的上确界和下确界存在．E的最大值称为数列的上极限，记为E的最小值称为数列{x_n}的下极限，记为

注：“ξ是数列的极限点”可以等价地表述为：“对于任意给定的，存在中的无穷多个项属于ξ的ε邻域”．

（2）重要定理

①E的上确界H和下确界h均属于E，即

②设是有界数列，则收敛的充分必要条件是．

 

（3）极限点定义的扩充

①定义  在数列中，若存在它的一个子列使得

则称ε为数列的一个极限点．

②定理  存在（有限数、＋∞或﹣∞）的充分必要条件是

．

③定理  设是有界数列，则的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，

a．存在正整数N，使得对一切n＞N成立；

b．中有无穷多项，满足．

④定理  设是有界数列，则的充分必要条件是：对任意给定的

a．存在正整数N，使得对一切n＞N成立；

b．中有无穷多项，满足

2．上极限和下极限的运算

（1）定理

设{x_n}，{y_n}是两数列，则

①

②若存在，则

注：要求上述诸式的右端不是待定型，即不为（＋∞）或（﹣∞）等．

（2）定理

设{x_n}，{y_n}是两数列

①若x_n≥0，y_n≥0，则

②若则

注：要求上述诸式的右端不是待定型，即不为0·（＋∞）等．

 

3．数列的上极限与下极限等价定义

（1）相关概念

设{x_n}是一个有界数列，令

则{a_n}是单调增加有上界的数列，{b_n}是单调减少有下界的数列，因此数列{a_n}与{b_n}都收敛．

记

①当数列{x_n}无上界而有下界时，则对一切n∈N^＋，b_n＝＋∞，定义H^*＝＋∞,这时数列{a_n}单调增加，但也可能没有上界．如果则由

可知

②当数列{x_n}无下界而有上界时，则对一切n∈N^＋，a_n＝﹣∞，定义h^*＝﹣∞，这时数列{b_n}单调减少，但也可能没有下界．如果，则由

可知

③当数列{x_n}既无上界又无下界时，则对一切n∈N^＋，a_n＝﹣∞，b_n＝＋∞，定义H^*＝＋∞，h^*＝﹣∞,所以对于任意实数数列，尽管其极限可以不存在，但H^*与h^*总是存在的（有限数或＋∞或﹣∞），且满足h^*≤H^*．

（2）相关定理

H^*是{x_n}的最大极限点，h^*是{x_n}的最小极限点．

三、正项级数

1．正项级数

（1）定义

如果级数的各项都是非负实数，即x_n≥0，n＝1，2，…，则称此级数为正项级数．

（2）正项级数的收敛原理

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界．若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到＋∞．

2．正项级数的收敛判别法

（1）比较判别法

①设与是两个正项级数，若存在正整数N与常数A＞0，使得

x_n≤Ay_n，n＝N＋1，N＋2，…，

则

a．当收敛时，也收敛；

b．当发散时，也发散．

②（比较判别法的极限形式）设与是两个正项级数，且

则

a．若0≤1＜＋∞，则当收敛时，也收敛；

b．若0＜1≤＋∞，则当发散时，也发散．

所以当0＜1＜＋∞时，与同时收敛或同时发散．

（2）Cauchy判别法

设是正项级数，则

①当r＜1时，级数收敛；

②当r＞1时，级数发散；

③当r＝1时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散．

（3）d′Alembert判别法

设是正项级数，则

①当时，级数收敛；

②当时，级数发散；

③当时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散．

（4）Raabe判别法

设是正项级数则

①当r＞1时，级数收敛；

②当r＜1时，级数发散．

（5）积分判别法

设f（x）定义于[a，＋∞），并且f（x）≥0，进一步设f（x）在任意有限区间[a，A]上Riemann可积．取一单调增加趋于＋∞的数列{a_n}：

令

则反常积分与正项级数同时收敛或同时发散于＋∞，且

特别地，当f（x）单调减少时，取a_n＝n，则反常积分与正项级数同时收敛或同时发散．

四、任意项级数

1．任意项级数

（1）级数的Cauchy收敛原理

①级数收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，存在正整数N，使得

对一切m＞n＞N成立．

②级数收敛的充分必要条件是：对任意给定的ε＞0，存在正整数N，使得

对一切n＞N与一切正整数p成立．

取p＝1，上式即为，于是就得到级数收敛的必要条件．

（2）Leibniz级数

①定义  如果级数，则称此级数为交错级数．进一步，若级数

满足{u_n}单调减少且收敛于0，则称这样的交错级数为Leibniz级数．

②Leibniz判别法  Leibniz级数必定收敛．

③Leibniz级数的性质

a.对于Leibniz级数，成立

b.对于Leibniz级数的余和，成立

2.Abel判别法与Dirichlet判别法

（1）Abel变换

设{a_n}，{b_n}是两数列，记（k＝1，2，……），则

（2）Abel引理

设

①{a_k}为单调数列；

②为有界数列，即存在M＞0，对一切k，成立，则

（3）级数的A-D判别法

若下列两个条件之一满足，则级数收敛：

①Abel判别法：{a_n}单调有界，收敛；

②Dirichlet判别法：{a_n}单调趋于0，有界．

3．级数的绝对收敛与条件收敛

（1）定义

如果级数收敛，则称为绝对收敛级数．如果级数收敛而发散，则称为条件收敛级数．

（2）定理

若绝对收敛，则与都收敛；若条件收敛，则都发散到＋∞．

4．加法交换律

（1）定理  若级数绝对收敛，则它的更序级数也绝对收敛，且和不变，即

（2）定理  设级数条件收敛，则对任意给定的n，﹣∞≤a≤＋∞，必定存在的更序级数满足．

5．级数的乘法

（1）定义

对于两个收敛的级数与，写出所有诸如

的项，将它们排列成下面无穷矩阵的形式：

然后，将所有这些项相加的结果定义为与的乘积．

（2）级数乘积的敛散性

①常用的排列次序与方式是下面所示的“对角线”排列与“正方形”排列．

a．对角线排列：

令

则称

为级数与的Cauchy乘积．

b．正方形排列：

令

则就是级数与按正方形排列所得的乘积．

对于正方形排列所得的乘积，只要与收敛，则总是收敛的，并成立

②定理  如果级数与绝对收敛，则将按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和等于

五、无穷乘积

1．相关定义

（1）设p₁，p₂，．．．p_n,…（p_n≠0）是无穷可列个实数，称它们的“积”

p₁p₂…p_n…

称为无穷乘积，记为，其中p_n称为无穷乘积的通项或一般项．

（2）构造无穷乘积的“部分积数列”

（3）如果无穷乘积的部分积数列收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积收敛，且称P为它的积，记为

如果发散或收敛于0，则称无穷乘积发散．

注：当时，称无穷乘积发散于0，而不是收敛于0．

2．重要定理

如果无穷乘积收敛，则

3．无穷乘积与无穷级数

（1）无穷乘积的收敛

①定理  无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛．

②推论  a.设a_n＞0（或a_n＜0），则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛．

b.设级数收敛，则无穷乘积收敛的充分必要条件是级数收敛．

（2）无穷乘积的绝对收敛

①定义  当级数绝对收敛时，称无穷乘积绝对收敛．

②定理  设，则下述三命题等价：

a．无穷乘积绝对收敛；

b．无穷乘积收敛；

c．级数收敛．