第10章 函数项级数
10.1 复习笔记
一、函数项级数的一致收敛性
1．点态收敛
（1）函数项级数
设un（x）（n＝1，2，3，…）是具有公共定义域E的一列函数，将这无穷个函数的“和”
u1（x）＋u2（x）＋…＋un（x）＋…
称为函数项级数，记为
（2）收敛点与收敛域
①设un（x）（n＝1，2，3，…）在E上定义，对于任意固定的xn∈E，若数项级数
的收敛点．
②函数项级数
的收敛点全体所构成的集合称为
的收敛域．
（3）和函数
设
的收敛域为
，则
就定义了集合D上的一个函数
S（x）称为
的和函数，并称
在D上点态收敛于S（x）．
2．函数项级数（或函数序列）的一致收敛性
（1）一致收敛的定义
①设{Sn（x）}（x∈D）是一函数序列，若对任意给定的ε＞0，存在仅与ε有关的正整数N（ε），当n＞N（ε）时，
|Sn（x）－S（x）|＜ε
对一切x∈D成立，则称{Sn（x）}在D上一致收敛于S（x），记为
S（x）．
②若函数项级数
的部分和函数序列{Sn（x）}，其中Sn（x）
，在D上一致收敛于S（x），则称
在D上一致收敛于S（x）．
（2）函数项级数一致收敛的必要条件
若函数项级数
在D上一致收敛，则函数序列{un（x）}在D上一致收敛于u（x）≡0．
（3）内闭一致收敛
若对于任意给定的闭区间[a，b]
" />D，函数序列{Sn（x）}在[a，b]上一致收敛于S（x），则称{Sn（x）}在D上内闭一致收敛于S（x）．
注：在D上一致收敛的函数序列必在D上内闭一致收敛，但其逆命题不成立．
（4）一致收敛性的判别定理
①设函数序列{Sn（x）}在集合D上点态收敛于S（x），定义Sn（x）与S（x）的“距离”为
则{Sn（x）}在D上一致收敛于S（x）的充分必要条件是：
②设函数序列
在集合D上点态收敛于S（x），则
在D上一致收敛于S（x）的充分必要条件是：对任意数列
成立
二、一致收敛级数的判别与性质
1．一致收敛的判别
（1）函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理
①函数项级数
在D上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的ε＞0，存在正整数N＝N（ε），使
对一切正整数m＞n＞N与一切
成立．
②（函数序列一致收敛的Cauchy收敛原理）函数序列
在D上一致收敛的充分必要条件是：
（2）Weierstrass判别法
设函数项级数
的每一项
满足
并且数项级数
收敛，则
在D上一致收敛．
（3）Abel判别法与Dirichlet判别法
设函数项级数
满足如下两个条件之一，则
在D上一致收敛．
①（Abel判别法）函数序列
对每一固定的
关于n是单调的，且
在D上一致有界：
同时，函数项级数
在D上一致收敛．
②（Dirichlet判别法）函数序列
对每一固定的
关于n是单调的，且
在D上一致收敛于0；同时，函数项级数
的部分和序列在D上一致有界，即
2．一致收敛级数的性质
（1）连续性定理
①设函数序列
的每一项Sn（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上也连续．
②设对每个n，un（x）在[a，b]上连续，且
在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上连续．这时，对任意
，成立
即极限运算与无限求和运算可以交换次序．
（2）逐项积分定理
①设对每个n，un,（x）在[a，b]上连续，且
在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上可积，且
即积分运算可以和无限求和运算交换次序．
②（函数序列的逐项积分定理）设函数序列
的每一项Sn（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上可积，且
（3）逐项求导定理
①（函数序列的逐项求导定理）设函数序列
满足：
a．
在[a，b]上有连续的导函数；
b．
在[a，b]上点态收敛于S（x）；
c．
在[a，b]上一致收敛于σ（x），则S（x）在[a，b]上可导，且
②（函数项级数的逐项求导定理）设函数项级数
满足
a．
在[a，b]上有连续的导函数；
b．
在[a，b]上点态收敛于S（x）；
c．
在[a，b]上一致收敛于σ（x），
则
（x）在[a，b]上可导，且
即求导运算可以与无限求和运算交换次序．
（4）Dini定理
①设函数序列
在闭区间[a，b]上点态收敛于S（x），如果
a.
在[a，b]上连续；
b.S（x）在[a，b]上连续；
c.
关于n单调，即对任意固定的x∈[a，b]，
是单调数列，则
在[a，b]上一致收敛于S（x）．
②设函数项级数
在闭区间[a，b]上点态收敛于S（x），如果
a.
在[a，b]上连续；
b.S（x）在[a，b]上连续；
c.对任意固定的x∈[a，b]，
是正项级数或负项级数；则
在[a，b]上一致收敛于S（x）．
三、幂级数
1．幂级数的定义
幂级数是一类特殊的函数项级数，其形式为
2．幂级数的收敛半径
（1）定义
令
则定义
幂级数的收敛半径即为R，并当R＝＋∞时，幂级数对一切都是绝对收敛的；当R＝0时，幂级数仅当x＝x0时收敛．
（2）Cauchy-Hadamard定理
幂级数
，当
时绝对收敛；当|x|＞R时发散．
注：①在区间的端点x＝±R，幂级数收敛与否必须另行判断．
②对于
，则有平行的结论：幂级数在以x0为中心，以R为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散．在区间的端点
处，幂级数的敛散性必须另行判断．
（3）d’Alembert判别法
如果对幂级数
成立
则此幂级数的收敛半径为R＝1/A．
3．幂级数的性质
（1）Abel第二定理
设幂级数
的收敛半径为R，则
①
在（－R，R）上内闭一致收敛，即在任意闭区间
R）上一致收敛；
②若
在x＝R收敛，则它在任意闭区间
上一致收敛．
类似地可进一步得到：若
在x＝－R收敛，则它在任意闭区间
上一致收敛；若
在x＝±R都收敛，则它在[－R，R]上一致收敛．
概括地说，幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上一致收敛．
（2）幂级数的性质和相关定理
①和函数的连续性：幂级数在它的收敛域上连续．
②定理 设
的收敛半径为R，则和函数在（－R，R）上连续；若
在x＝R（或x＝－R）收敛，则和函数在x＝R（或x＝－R）左（右）连续．
③逐项可积性：幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分．
④定理 设a，b是幂级数
收敛域中任意二点，则
特别地，取a＝0，b＝x，则有
且逐项积分所得幂级数
与原幂级数
具有相同的收敛半径．
⑤逐项可导性 幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导．
⑥定理 设
的收敛半径为R，则它在（－R，R）上可以逐项求导，即
且逐项求导所得的幂级数
的收敛半径也是R．
四、函数的幂级数展开
1.Taylor级数与余项公式
（1）Taylor级数
①假设函数f（x）在x0的某个邻域O（x0，r）上可表示成幂级数
即幂级数
在O（x0，r）上的和函数为f（x）．由幂级数的逐项可导性，f（x）必定在O（x0，r）上任意阶可导，且对一切k∈N+，
令x＝x0，得到
称由和函数f（x）惟一确定的系数{an}为f（x）在x0的Taylor系数．
②设函数f（x）在x0的某个邻域O（x0，r）上任意阶可导，则能求出它在x0的Taylor系数
，并作出幂级数
称其为f（x）在x0的Taylor级数．
注：一个任意阶可导的函数的Taylor级数并非一定能收敛于函数本身．
（2）余项公式
设f（x）在O（x0，r）有n＋1阶导数，则
其中rn（x）是n阶Taylor公式的余项．
（3）相关定义、定理
①定理 设f（x）在O（x0，r）上任意阶可导，则
其中
②对余项rn（x）的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当t∈[x0，x]（或[x，x0]）时，（x－t）n保持定号，于是就有
（ξ在x0与x之间）
0≤θ≤1，
此时rn（x）就是Lagrange余项．
③如果将f（n+1）（t）（x－t）n看作一个函数，应用积分第一中值定理，则有
（ξ在x0与x之间）
0≤θ≤1，
此时rn（x）的这一形式称为Cauchy余项．
2．初等函数的Taylor展开
（1）
x∈（－∞，＋∞）；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）f（x）＝（1＋x）α，α≠0是任意实数．
①当α是正整数m时，
即它的Taylor展开就是二项式展开，只有有限个项．
②当α不是正整数时，由于f（x）＝（1+x）α的各阶导数为
f（k）（x）＝α（α－1）…（α－k＋1）（1＋x）α－k，k＝1，2，…，
可知f（x）在x＝0的Taylor级数为
（7）
x∈[－1，1]．
五、用多项式逼近连续函数
1．相关定义
（1）多项式一致逼近
设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，如果存在多项式序列{Pn（x）}在[a，b]上一致收敛于f（x），则称f（x）在这闭区间上可以用多项式一致逼近．
（2）多项式一致逼近另一种表述
f（x）在[a，b]上可以用多项式一致逼近的充分必要条件为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P（x），使得
对一切x∈[a，b]成立．
2．相关定理
（1）Weierstrass第一逼近定理
设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P（x），使得
对一切x∈[a，b]成立．
（2）Weierstrass第一逼近定理另一种表述
设f在[a，b]上连续，则它的Bernstein多项式序列{Bn（f，x）}在[a，b]上一致收敛于f．