第2章 数列极限
一、判断题
1．单调序列
中有一个子序列
收敛，则
收敛．（ ）[武汉大学研]
【答案】对
【解析】不妨设
单增，即
又设
则
可证：
用反证法，若
．那么
这与①式矛盾，因此
单调递增有上界a，从而有极限，即证
收敛．
事实上还可证
时，有
再由
，对上述ε，存在N2，当
时有
再令
，当n>N时
2．序列
的子序列
和
收敛，则
收敛．（ ）[武汉大学研]
【答案】错
【解析】举反例：数列
，
和
都收敛，但
不收敛．
3．序列
收敛，则序列
收敛，其逆命题也成立．（ ）[武汉大学研]
【答案】错
【解析】举反例：
收敛，但
不收敛．
4．
收敛，则
．（ ）[武汉大学研]
【答案】错
【解析】举反例：
收敛，但
5．函数序列
，满足对任意自然数p及
，有
，则
一致收敛．（ ）[武汉大学研]
【答案】错
【解析】比如
在
上满足条件，但
在[0，1]上不一致收敛．
二、解答题
1．用极限定义证明，当a>1时，
，并讨论当0＜a≤1时，极限
是否存在。如果存在，极限是多少。[上海理工大学研]
证明：当a>1时，令
，则
。由
得
对于任意给定的ε>0，取
，则当n>N时，就有
，即
，所以
当0＜a＜1时，
；当a＝1时，
2．叙述
发散的定义，证明{cosn}，{sinn}发散。[大连理工大学研、武汉大学2006研]
证明：设不以a为极限。存在
，对任意的N，有
，使得
，下证{sinn}不收敛。
存在
，对任意的N，有
，则有
所以
。（柯西（Cauchy）收敛准则）
3．证明：若数列无上界，则必有严格单调增加且趋于＋∞的子列。[上海理工大学研]
证明：因为数列无上界，所以存在
。同样因为数列
无上界，所以存在
。依次类推，可得到的子列
满足
显然
是
的严格单调增加且趋于＋∞的子列。
4．设
定义
证明：
（1）
（2）
[四川大学、天津大学研]
证明：（1）
，由L’Hospital法则
（2）当x→＋∞时，令
则
由两边夹法则可知：
5．设
求极限
[华中科技大学研]
解：令
则
。利用Cauchy中值定理可得
此处应用了
和
，因为
而
所以
6．设0＜c＜1．
，
，证明：
收敛，并求其极限．[武汉大学、华中师范大学研]
证明：
方法一：用数学归纳法可以证明
事实上
，假设
，则
令
①
其中ε介于
与
之间，由于0＜c＜1，再由①式可知
为压缩数列，故收敛，设
由于
方法二：先用数学归纳法可证
②
再用数学归纳证明
③
显然
，归纳假设
，则
从而③成立．
由②，③知
单调递增有上界，
，
．注意到l＜1，
7．证明：
为递减数列；
[华东师范大学研]
证明：
证法一：（1）设
为递减数列．
（2）由
严格增且
，故
，再由
严格减且
故
即
取对数
于是
证法二：（1）因为
①
再由①式知
为递减数列．
（2）由于
故
②
③
由②，③即证
