第二部分　课后习题

第1章　技　术

1．如果是个凸集，那么相关的生产集一定是凸的。对或错？

True or false ? If  is a convex set, then the associated production set  must be convex.

答：这个说法错误。理由如下：

凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：

证明：如果是一个凸集，那么可以得出，对任何使和都在中的和^′来说，一定会有

在中，即在中。从而可知：如果和在中，那么也在中，从而可知也是凸的。

下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。考虑由生产函数规定的技术。生产集

当然不是凸的，但投入要素集是凸集。

2．当时，CES生产函数的替代弹性是什么？

What is the elasticity of substitution for the general CES technology  when ?

解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：

 

上式两边取对数后得到：

 

根据替代弹性的定义：  

3．将要素的产出弹性定义成：，如果，每个要素的产出弹性是什么？

Define the output elasticity of a factor to be .If , what is the output elasticity of each factor?

解：，从而第一个要素的产出弹性为：

 

第二个要素的产出弹性为：

 

4．如果是规模弹性，是要素的产出弹性，证明：

 

If  is the elasticity of scale and  is the output elasticity of factor , show that

证明：对生产函数，令，其中。规模弹性的定义为：

从而：

 

再利用产出弹性的定义就有：

5．对CES生产函数而言，的规模弹性是什么？

What is the elasticity of scale of the CES technology, ?

答：

这意味着CES生产函数显示出不变规模收益，因此规模弹性为1。

或者用定义也可以求得这一结果，由于

所以：  ，在时计算这个导数的值并除以，得到规模弹性为1。

6．当且仅当时，可微函数是严格增函数，判断对或错？

True or false? A differentiable function  is a strictly increasing function if and only if .

答：该命题不正确。这是因为：如果，可微函数是严格增函数，但反过来，则不一定成立。举例来说明，函数是可微的，并且严格递增，但在处的导数为零。

7．如果是位似技术函数，并且和生产同样水平的产出，那么和也一定生产同样水平的产出。请证明这个结论。

In the text it was claimed that if  is a homothetic technology and  and  produce the same level of output, then  and  must also produce the same level of output. Can you prove this rigorously?

证明：首先阐述一下位似技术的定义：

位似技术是一个一次齐次函数的单调变换。换句话说，函数是位似的，当且仅当它可以表示成

，其中是一次齐次的，是单调函数。

由于和^′生产同样水平的产出，从而有，又因为函数是单调的，所以必有

，于是：

即和也一定生产同样水平的产出.

8．如果是位似函数。证明它在处的技术替代率等于它在处的技术替代率。

Let  be a homothetic function. Show that its technical rate of substitution at  equals its technical rate of substitution at .

证明：位似函数可以写成，其中是一次齐次函数，是单调函数。位似函数在处的技术替代率为：

从上式可以看出，一个位似函数的技术替代率与相应的一次齐次函数的技术替代率相等。而一次齐次函数在

处和处的技术替代率相等，因此位似函数在处和处的技术替代率也相等。

9．考虑CES生产函数：。证明可以把它写成的形式。

Consider the CES technology.Show that we can always write this in the form.

证明：改写过程如下：

 

最后令， 

10．假设是一个生产集。如果在中和在中意味着在中，就可以认为该技术是加性的。如果在中，并且对任意的，在中，就可以认为该技术是可分性的。证明：如果一项技术既是加性的又是可分性的，那么 一定是凸的且表现出规模报酬不变。

Let  be a production set. We say that the technology is additive if  in  and  in  implies that

 is in . We say that the technology is divisible if  in  and 0≤≤1 implies that  is in . Show that if a technology is both additive and divisible, then  must be convex and exhibit constant returns to scale.

证明：由于该技术满足可分性，这就意味着对于任意的介于0到1之间的实数，和都在中。而加性则意味着两者之和 也在中，由此凸性即得证明。

对任意大于1的实数，它总可以写成 ，其中表示的整数部分，由于，所以，并且 。这样，若在中，则由可加性，也在中，再由可分性，也在中，再次利用可加性， 也在中，这就意味着该技术是规模报酬不变的。

11．对每个投入要求集，判定其是否满足正则性、单调性和／或凸性。假定参数和以及产出水平严格为正：

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

For each input requirement set determine if it is regular, monotonic, and/or convex. Assume that the parameters  and  and the output levels are strictly positive.

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

答：正则性是指对所有而言，是一个非空的闭集。正则性意味着总存在某种可想到的方法来生产出任意给定水平的产出。

单调是说如果在中，并且，那么，也在中。单调性意味着增加要素肯定不会降低产出的水平。

凸性是指如果和都在中，那么，对所有介于0和1之间的而言， 也在中。

（a）投入要求集满足正则性，单调性以及凸性。

（b）投入要求集满足正则性，单调性以及凸性。

（c）投入要求集是正则性的。的导数都是正的，所以技术是单调性的。由于等产量曲线凸向原点，所以生产函数是凹的是充分的（但不是必要的）。为了验证这点，用生产函数的二阶导数形成一个矩阵，并看它是否为负半定。海赛矩阵的第一个主子阵必有一个负的行列式，第二个主子阵必有一个非负的行列式。

 

 

 

 

 

所以投入要素集是凸性的。

（d）投入要求集满足正则性，单调性以及凸性。

（e）投入要求集不满足正则性，因为对任意大于1的产量，不存在把它生产出来的技术，但它满足单调性和凸性；

（f）投入要求集是正则性的。为了检验单调性，写下生产函数， 生产函数求偏导数得到：

 

可见只有当时，上式才为正，因而投入要素集并不总是单调的。

再来看的海赛矩阵，其行列式为零，且第一个主子式为正。因此根据海赛矩阵无法判断的凸性，但是对于投入要求集可以判断其不是凸的，理由如下：

，对此式改写可得：，对这个式子两边平方后可知这是一个椭圆方程，并且是椭圆的外部区域在第一象限的部分，它不是凸的，即不是凸的。

（7）这一函数是一线性与一里昂惕夫函数的连续运用，所以它具有这两种函数所拥有的所有性质，包括正则性、单调性和凸性。