第3章　利润函数

1．一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数。将产出价格正规化，令其等于1。

（a）对函数求一阶导数和二阶导数，可以得到什么结论？

（b）如果是对要素的要素需求函数，的符号是什么？

（c）令为产生这种形式的利润函数的生产函数。这种生产函数的形式是什么样子的？（提示：参见一阶条件）

A competitive profit-maximizing firm has a profit function .The price of output is normalized to be 1.

（a）What do we know about the first and second derivatives of the functions ?

（b）If  is the factor demand function for factor ， what is the sign of ?

（c）Let  be the production function?（Hint：look at the first-order conditions.）

答：（a）由利润函数的凸性得到，从而可知；又因为利润函数关于要素价格是单减的，即，从而可知。

（b）根据Hotelling引理可知，因此。

（c）由（b）可知，又因为对，恒成立。

从中反解出代入上式中可知只和有关；同理可知只和有关，从而可知一定可以写成如下形式：。

2．考虑，和，所描述的技术。计算出这种技术的利润函数。

　 Consider the technology described by  for and for . Calculate the profit function for this technology.

解：令，易知在区间上单增，在区间上单减，所以在这一点上达到最大值。下面分情况讨论：

（1）当 时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么当它的产量为1时，可以得到最高利润为。所以，厂商的最优选择就是不生产。

（2）当时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么当它的产量为时，可以得到最高利润，为。所以如果即时，厂商应当选择生产数量的产品，相应的利润为；如果，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。

综上可知，厂商的利润函数为：

如图3-1所示。

图3-1　厂商的利润最大化

3．给出生产函数，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数。为简单起见，假定存在内解。假定。

Given the production function ，calculate the profit-maximizing demand and supply functions，and the profit function. For simplicity assume an interior solution. Assume that .

解：利润最大化问题：

一阶条件为：

得出要素需求方程为：，。

将要素需求方程代入生产函数，得到供给函数：

将要素需求方程代入目标函数就得出利润函数：

4．给出生产函数，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数，假定。和

必须满足什么样的约束？

　  Given the production function ，calculate the profit-maximizing demand and supply functions, and the profit function. Assume . What restrictions must and  satisfy?

解：利润最大化问题：

一阶条件是：

解得要素需求函数：

将要素需求函数代入目标函数即求得利润函数:

当时，生产函数规模报酬递增，所以不存在最大利润；当时，得到柯布—道格拉斯生产函数，所以不存在最大利润；当时，优化问题的海赛矩阵负定，所以存在最大利润。

综上可知时，利润最大化问题有解。

5．给出生产函数，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数。必须满足什么约束？

   Given the production function , calculate the profit -maximizing demand and supply functions, and the profit function. What restriction must a satisfy?

解：厂商的利润最大化问题为：

对于最优解必有，所以上述最优化问题可以化简为：

从而解得要素需求函数为：

将要素需求函数代入生产函数得到供给函数：

将要素需求函数代入目标函数得到利润函数：

上述最优化问题的二阶条件为，可见为了满足二阶条件必须有；当时，生产函数规模报酬递增，所以不存在最大利润；当时，只有当时，厂商有最大利润（等于零），当时，厂商无最大利润；综上可知：当时，厂商的利润函数处处存在。