2.1.6　模糊集的数量指标

2.1.2小节描述了F集之间的交、并、补运算，本小节给出刻画F集模糊程度的一些概念。

定义2.6　设A∈F（U），记

分别称为F集A的高度和深度。

F集A的高度和深度反映了各元素隶属于F集的两个极值状态。高度反应的是“极大”方面的情况，深度反应的是“极小”方面的情况。对于有限论域上的F集，高度和深度反映了F集隶属函数的最大值与最小值，对于无限论域的情况，请看例2.11。

特别的，当hgtA=1时，称F集A为正规F集，否则称为非正规F集。

若F集A为非正规F集，且存在u₀∈U，使得A（u₀）=hgtA，则对任意的u∈U，令

，则A’化为了正规F集，这一过程称为F集的正规化。

例2.10　设论域U={u₁，u₂，u₃}，且，为U上的一非正规F集，求hgtA，dphA，并求A的正规化F集。

解：

例2.11　设A∈F（R），R表示实数域，A表示“所有比1大得多的实数”，其隶属函数表示如下，求hgtA，dphA。

解：

定义2.7　设论域U={u₁，u₂，…，u_n}为有限论域，A∈F（U），记

分别称为F集A的基数和相对基数。

注意：本章后面的内容如不做特殊说明，将默认所有论域都为非空有限论域。

基数是反映F集A的“容量”的数量指标，如果A为普通集合，基数实际上就是集合元素的个数。相对基数则是描述A的“浓度”的指标。

例2.12　求例2.10中F集合A的基数与相对基数。

解：

关于F集的高度、深度与相对基数，有下面的结论。

性质　设A∈F（U），则下列性质成立：

（1）dphA≤‖A‖≤hgtA

（2）‖A‖+‖A^c‖=1

（3）dphA=1-hgtA^c

证明：

仅对（2）给出证明

在利用模糊数学知识刻画某一实际问题中的模糊性概念时，常常需要用一个数量来表明这一模糊性概念的模糊程度，这个量就是模糊度。

定义2.8　若映射d：F（U）→[0，1]满足条件：

（1）d（A）=0⇔A为普通集合，

（2）∀u∈U，d（A）=1⇔A（u）=0.5，

（3）∀u∈U，A，B∈F（U），若B（u）≤A（u）≤0.5或B（u）≥A（u）≥0.5，则有d（A）≥d（B），

（4）d（A）=d（A^c），

则称映射d为F（U）上的一个模糊度，d（A）称为F集A的模糊度。

定义2.8给出了一个关于模糊度的公理化定义，仔细分析可知，条件（1）表明只有F集才有模糊度，条件（2）和（3）表明元素对集合的隶属度越靠近0.5，F集的状态越模糊，这种亦此亦彼的状态是最难决策的，条件（4）表明F集与它的补集具有相同的模糊度。但是，这一公理化的定义并不适用于计算，在实际应用中还需给出其具体的形式。下面我们给出一种可供计算的模糊度。

定义2.9　设A∈F（U），记

d_p（A）称为A的明科夫斯基（M inko w ski）模糊度（p为正实数）。特别的，当p=1， 2时的模糊度分别称为海明（Haming）模糊度和欧几里得（Euclid）模糊度（读者自行按照定义2.8证明定义2.9是否满足公理化定义）。

例2.13　已知F集

解：

又因为，有