2.8　节点电压法

在电路中任意选择某一节点作为参考节点，其余节点都是独立节点。各独立节点相对于参考节点之间的电压称为节点电压。节点电压的极性是以参考节点为负，其余各独立节点为正。

以一组独立节点的节点电压为未知变量，应用KCL建立电路方程，求出节点电压，继而求解各支路电流及其他变量，这种方法称为节点电压法。

如图2-21所示电路，共有4个节点，选定参考节点后，其余的节点①、②、③便是一组独立节点。设各节点电压为u_n1、u_n2、u_n3，对独立节点①、②、③应用KCL，有

根据KVL和元件的VCR，各支路电流i₁，i₂，…，i₆可用有关的节点电压表示为

将支路电流表示式（2-20）代入式（2-19），整理后可得到以节点电压为变量的方程为

式（2-21）可以写为

如果令G₁₁=G₁+G₄+G₆，G₂₂=G₂+G₄+G₅，G₃₃=G₃+G₅+G₆，分别为节点①、②、③的自电导，它们分别等于连接于各节点的支路电导之和，自电导总是正的；令G₁₂=G₂₁=-G₄，G₁₃=G₃₁=-G₆，G₂₃=G₃₂=-G₅，分别为①、②，①、③和②、③这3对节点间的互电导，它们等于连接于两个节点之间的支路电导的负值，互电导总是负的；令i_s11=i_s1-G₆u_s6，i_s22=0，i_s33=G₃u_s3，分别表示节点①、②、③的注入电流，它们分别等于流向节点的电流源电流的代数和，流入节点为正，流出节点为负。注入电流还要包括电压源与电阻串联组合经等效变换后形成的电流源电流。则式（2-22）可以写成节点电压方程的一般形式：

将式（2-23）推广到具有n个独立节点的电路，其节点电压方程为

式中，

（1）G_kk为第k个节点的自电导，它等于连接于节点k的各支路电导之和，自电导总为正值。

（2）G_ij（i≠j）为节点i、j之间的互电导，它等于连接于节点i、j之间的所有支路电导之和的负值，互电导总为负值。在电路中不含受控源的情况下，方程左边的系数具有对称性，即G_ij=G_ji（i≠j）。

（3）i_skk为第k个节点的注入电流，它等于流向节点k的电流源（包括电压源与电阻串联组合经等效变换形成的电流源）电流的代数和，流入节点为正，流出节点为负。

综上所述，节点电压法的一般步骤归纳如下：

（1）指定参考节点，并对其余各独立节点编号。

（2）按照式（2-24）的形式列写节点方程。

（3）解方程，求出各节点电压。

（4）根据需要，由各节点电压进一步求出其他待求量。

【例2-9】电路如图2-22所示，用节点电压法求各支路电流。

解：选择参考节点如图2-22所示，对于独立节点①、②，按式（2-24）列出节点方程：

整理后为

解方程可得：u_n1=18.4（V），u_n2=10（V）。再由KVL和元件VCR，求得各支路电流为

无电阻与之串联的电压源称为无伴电压源。当电路中存在无伴电压源支路连接于两个节点之间时，由于该支路的电阻为零，其电导为无穷大，无伴电压源支路的电流不能通过所关联的两个节点电压来表示，列写节点电压方程时会遇到困难。通常的处理方法是增加无伴电压源的电流为未知变量，每引入一个这样的变量，同时增加一个节点电压与无伴电压源电压之间的约束关系。这样处理，依然可以保证独立方程数等于未知变量数，使问题得到解决。

【例2-10】电路如图2-23所示，用节点电压法求各支路电流。

解：电路中含有无伴电压源，设其电流为i₁，其余各支路电流如图2-23所示。电路的节点电压方程为

补充的约束关系为

u_n1=20

以上3个方程联立求解，可得：u_n1=20（V），u_n2=10（V），i₁=5（A）。

进一步求得