第4章 非线性振动与随机振动
4.1 非线性振动
4.1.1 非线性振动问题
在对一个振动系统进行研究时，一般情况下其阻尼、弹性恢复力和惯性力可线性化。然而，在振幅比较大的情况下，线性化的阻尼、弹性恢复力和惯性力不能反映其系统的振动特性，必须考虑其非线性项性质。构成非线性振动系统的原因很多，当振幅过大，材料超过线性弹性而进入非线性弹性，甚至超过弹性极限而进入塑性，这种由于材料本身的非线性特性而使系统成为非线性系统，通常称为材料非线性。另外由于几何上或构造上的原因，虽然材料本身仍符合线弹性，但由于位移过大，或变形过大而使结构的几何发生显著变化，而必须按变形后的关系建立运动方程，这样出现的非线性称为几何非线性。在机械系统中非线性力有非线性恢复力、非线性阻尼力和非线性惯性力。
表27-4-1为机械工程中的非线性振动问题的典型例子。
表27-4-1 非线性振动的力学模型、曲线及表达式
4.1.2 非线性恢复力的特性曲线
表27-4-2 各种系统所常见的几种非线性恢复力的特征曲线
4.1.3 非线性阻尼力的特性曲线
振动系统中的阻尼因素比较复杂，大多数情况下具有非线性特性，目前对阻尼的机理研究还不甚清楚，流体阻尼、干摩擦阻尼、材料阻尼、滑移阻尼是其主要的几种表现形式。其中流体阻尼、干摩擦阻尼指周围的介质或固体外界环境引起的阻尼，该阻尼随着速度的增加，阻尼力不再是速度的线性函数。材料阻尼是由于系统内部的材料的内摩擦引起的，滑移阻尼是结构由于衬垫、铆接和用螺栓固定或其他方法连接在一起时，各部件之间由于界面相对滑动或表面层的剪切效应而产生的阻尼。材料阻尼和滑移阻尼统称为结构阻尼。
表27-4-3 各种系统所常见的几种流体阻尼、干摩擦阻尼的特征曲线
注：v——速度；b0，b1，b3——正常数。在线性振动系统中，一般采用等效黏性阻尼来处理。
表27-4-4 各种系统所常见的几种结构阻尼的特征曲线
4.1.4 非线性振动的特性
非线性振动与线性振动相比，主要有如下几个方面的不同（其特性曲线与说明见表27-4-5）。
1）在线性系统中，由于阻尼的存在，自由振动总是被衰减掉，只有在周期性的激振力作用下才有定常的周期振动；而在非线性系统中，无外激振力作用也有定常的周期振动，如自激振动系统。
2）在线性系统中，固有频率和初始条件、振幅无关；而在非线性系统中，固有频率则和振幅、相位以及初始条件有关。如表27-4-5中的第2项。
3）在缓慢改变激振力频率时，幅频曲线出现分岔点、跳跃和滞后现象，表中第3项为恢复力硬特性的非线性系统受简谐激振力作用时的响应曲线，第4项为恢复力软特性的响应曲线。
4）在非线性系统中，对应于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，必须研究解的稳定性问题，才能决定各个解的特性，如表27-4-5中的第5项。
5）线性系统中的叠加原理对非线性系统不适用，如表27-4-5中的第6项。
6）在线性系统中，强迫振动的频率和激振力的频率相同；而在非线性系统中，在简谐激励力作用下，其定常强迫振动解中，除有和干扰力同频的成分外，还有成倍数的频率成分存在。多个简谐激振力作用下的受迫振动有组合频率的响应，在一定条件下，某个组合频率的分量要比其他频率分量大很多，出现组合共振或次谐波组合共振，如表27-4-5中的第7项。
7）频率俘获现象；当非线性系统激振频率ω比较接近于固有角频率ωn时，产生周期变化的拍振，对线性系统，随ω趋近于ωn，拍的周期无限增大。在非线性系统中，拍在ω达到某一值时就消失，而且出现不同于ωn和ω的单一频率的同步简谐振动，这就是频率俘获现象。产生频率俘获现象的频带为俘获带。
8）广泛存在混沌现象。混沌是在非线性振动系统上有确定的激励作用而产生的不规则的振动。
9）系统激励受响应影响的系统称为非理想系统，一般来说，非理想系统指供应有限功率的系统。对该类系统，必须研究非线性微分方程才能对其振动规律进行分析，如表27-4-5中的第8项。
表27-4-5 非线性振动系统的特性
非线性振动特性示例如表27-4-6所示。
表27-4-6 具有非对称刚度、间歇性接触运动的转子系统非线性响应
几个非线性系统的响应曲线见表27-4-7。
表27-4-7 非线性系统的响应曲线
4.1.5 分析非线性振动的常用方法及示例
4.1.5.1 分析非线性振动的常用方法
表27-4-8 分析非线性振动的常用方法
注：非线性系统运动微分方程中，
、x不显含t的系统称自治系统，其振动性状完全由系统性质决定，不受外部的影响而产生的自由振动和自激振动。
4.1.5.2 非线性振动的求解示例
求解图27-4-1所示受径向预拉力的弹性圆板，考虑其一阶模态，系统在谐波p0cosΩt激励下的非线性振动方程为：
（27-4-1）
式中 ε——小参数，
；
ν——泊松比；
a——圆板半径；
h——板厚；
ψ——一阶模态坐标；
ω——一阶固有频率；
Γ——与一阶振型、材料参数相关的非线性系数。
图27-4-1 受径向预拉力的弹性圆板
利用多尺度法对其求解，把解用不同时间尺度表示为
（27-4-2）
式中，T0=t，T1=εt。
（27-4-3）
（27-4-4）
将式（27-4-2）～式（27-4-4） 代入式（27-4-1）中，按ε幂次整理，并使考虑方程式ε0和ε1项系数等于零，可得
（27-4-5）
（27-4-6）
式（27-4-5）的解为
（27-4-7）
式中，A、
是一对共轭复数，引进一个解谐参数σ，并让Ωt=ωt+σT1，将式（27-4-7）代入式（27-4-6）可得
（27-4-8）
为了消除ψ1 中的永期项，必须有
（27-4-9）
为对（27-4-9） 求解，将A 表达成
（27-4-10）
式中a和 β是T1的实函数，代入（27-4-9）得
（27-4-11）
将实部和虚部分开，整理可得
（27-4-12a）
（27-4-12b）
式（27-4-12a）和式（27-4-12b）可进一步简化为
（27-4-13a）
（27-4-13b）
设
，可得
，并将其代入式（27-4-13），可简化为
（27-4-14a）
（27-4-14b）
对于稳态运动，
，式（27-4-14）改写成
（27-4-15a）
（27-4-15b）
这两个方程取平方后相加得
（27-4-16）
方程（27-4-16）是响应振幅a作为依赖于解谐参数σ（激振频率）和激励幅值f的隐函数，其幅频曲线和力幅曲线如图27-4-2所示。该方程的一阶近似稳态解为：
（27-4-17）
对于稳态解，式中θ是响应和激励的相位差为一常数。
图27-4-2 图27-4-1所示系统的一次近似解的幅频曲线和激励力幅值-响应幅度曲线（其中实线表示稳定解，点线表示不稳定解）
4.2 自激振动
4.2.1 自激振动系统的特性
表27-4-9 自激振动系统的特性
注：由于系统中某个参数作周期性变化而引起的振动称为参激振动。如具有周期性变刚度的机械系统、受振动载荷作用的薄拱、柔性梁等，都属于参激振动系统。此时描述该系统的微分方程是变系数的，对单自由度系统为：
方程的系数是时间的函数。这些函数与系统的位置无关，且它们的物理意义取决于系统的具体结构和运动状况。
4.2.2 机械工程中的自激振动现象
表27-4-10 机械工程中常见的自激振动现象
4.2.3 非线性振动的稳定性
对于线性系统，除了无阻尼共振的情况外，所有的运动都是稳定的。但是对于非线性系统，正像表27-4-5所表述的，可能出现许多不同的周期运动，如各种组合频率振动，其中有些振动是稳定的，有些振动是不稳定的。确定非线性系统运动稳定性是非常重要的，有时判断系统的运动稳定性比求得运动精确形态更重要。例如机床切削过程中常碰到的自激振动，重要的是判断系统在什么条件下会产生颤振及系统各参数对稳定性的影响，人们并不关心自激振动产生后的频率和振幅。
4.2.4 相平面法及稳定性判据
相平面法就是在相平面图上作出系统的运动速度和位移的关系，称相轨迹，以此了解系统可能发生的运动的情况。如表27-4-8所示，作为一种定性分析方法可以研究非线性系统在整个相平面上运动的全貌。例如，对于自治系统（见表27-4-8的注），非线性单自由度系统的微分方程式可写作：
令
上式可化为：
而
两式相除，得：
积分后，即为以x，y为坐标的相平面图上，由初始条件（x0，y0）开始画出的等倾线（以斜率m为参数）族，作出系统的相平面图。单自由度系统相平面及稳定性的几种主要情况见表27-4-11。
表27-4-11 单自由度系统相平面及稳定性
注：1.表中x表示广义位移，用y表示广义速度； x0，y0分别为初始位移和初始速度。 2.相平面法可定性研究非线性系统全局运动，而对于平衡点、周期解附近的运动性质可采用摄动法得到非线性系统的首次近似方程，定量分析平衡点、周期解附近的运动性质。
4.3 随机振动
4.3.1 随机振动问题
随机振动是指系统的振动情况不可能用一个明确的函数表达式来描述，并且根据以往的记录也无法预测将来振动响应。它的特征是从振动的单个样本观察，有不确定性、不可预估性和相同条件下的各次振动的不重复性。各次振动记录是随机函数，这一类函数的集合称随机过程。随机振动的激励或响应过程的按统计规则性可分为平稳随机和非平稳随机过程；按记忆能力可分纯随机过程（白噪声），马尔可夫过程，独立增量过程，维纳过程和泊松过程。随机振动的系统还可以根据其动态特性分为线性系统和非线性系统。
表27-4-12 平稳随机振动及特性
注：各参数的脚标x表示参数为随机过程X（t）的对应参数，x可以为位移、速度、加速度、干扰力等物理量，为区分也可用x，，
，…表示。
4.3.2 平稳随机振动
4.3.3 单自由度线性系统的传递函数
1）频率响应函数（或复频响应函数）：描述系统在频率ω下的响应特性。
2）脉冲响应函数h（t）：稳态、静止系统受到单位脉冲激励后的响应。
4.3.4 单自由度线性系统的随机响应
工程中窄带随机振动问题的处理方法和确定性振动问题相似，所以，通常将其转化为确定性振动来处理。对宽带随机过程，如果其功率谱密度在一定的频带范围内缓慢变化，为了分析方便，可以近似处理为白噪声过程，虽然白噪声是指在（-∞，∞）整个频域功率谱密度为常数的随机过程，是一种理想状态。表27-4-14为单自由度系统响应。
式中，x（t）是各态历经具有高斯分布的白噪声过程。
表27-4-13 单自由度线性系统的传递函数
注：1.频响函数为复数形式的输出（响应）和输入（激励）之比。
2.系统的传递函数只反映系统的动态特性，与激励性质无关，简谐激励或随机激励都一样传递。
表27-4-14 白噪声激励下的随机响应
