2.6 矩阵函数的微积分运算

本节首先给出矩阵函数的导数和积分定义。在此基础上，还将介绍各种复杂函数矩阵的导函数矩阵计算方法与应用，以及Jacobi矩阵与Hesse矩阵的概念与计算问题。

2.6.1 矩阵函数的导数

定义2-25 若矩阵A(t)是t的函数，则A(t)对t的导数等于每个元素单独求导的矩阵，即

如果已知矩阵A(t)是t的函数，则dA(t)/dt可以由diff()函数直接求出。

例2-35 试求出下面函数矩阵的导数。

解 可以先将矩阵函数输入MATLAB环境，然后直接对其求导。由于这里使用了矩阵函数的表示方法，为避免与已有矩阵冲突，应该用clear命令先清除原有的A矩阵，再输入新矩阵。

得出的导函数矩阵为

定理2-9 假设A(t)和B(t)都可微，则

例2-36 考虑例2-35中的A(t)与如下B(t)矩阵，试求A(t)B(t)对t的导数。

解 可以用两种方法求A(t)B(t)的导数，一种方法是先求出A(t)B(t)再用diff()函数直接求导；另一种方法是由式（2-6-3）求导，两种方法得出的结果完全一致。从这个例子看，对复杂函数求导问题没有必要借助于式（2-6-3）介绍的间接方法，直接调用diff()函数求解即可。由于得出的结果过于繁杂，这里就不列出了。

2.6.2 矩阵函数的积分

定义2-26 矩阵函数A(t)对t的定积分定义为每个元素定积分构成的矩阵。

MATLAB提供的int()函数可以直接对矩阵进行不定积分、定积分或反常积分运算。下面将通过例子演示积分运算。

例2-37 试对例2-35的结果进行积分运算，验证能否返回原函数。

解 可以先输入A(t)函数矩阵，对其求导再对结果作不定积分运算。可以看出，最终得出的结果可以还原给定的矩阵。

2.6.3 向量函数的Jacobi矩阵

定义2-27 假设有n个自变量的m个函数定义为

将相应的yi对xj求偏导，则得出如下的Jacobi矩阵。

Jacobi矩阵（Jacobian matrix）是以德国数学家Carl Gustav Jacob Jacobi（1804−1851）命名的，又称为梯度矩阵。Jacobi矩阵可以由MATLAB的符号运算工具箱中的jacobian()函数直接求得，其调用格式为J=jacobian(y,x)。其中，x是自变量构成的向量，y是由各个函数构成的向量。

例2-38 已知球面坐标到直角坐标的变换公式为x=rsin θcosϕ，y=rsin θsin ϕ，z=rcosθ，试求出函数向量[x,y,z]对自变量向量[r,θ,ϕ]的Jacobi矩阵。

解 先声明符号变量并描述三个函数，这样可以用下面语句求解出其Jacobi矩阵。

可以得出Jacobi矩阵为

2.6.4 Hesse矩阵

定义2-28 给定n元标量函数f(x1,x2,…,xn)的Hesse矩阵定义为

Hesse矩阵是以德国数学家Ludwig Otto Hesse（1811−1874）命名的，该矩阵是标量函数f(x1,x2,…,xn)的二阶偏导数矩阵。MATLAB提供了hessian()函数，可以直接求出原函数的Hesse矩阵，调用格式为H=hessian(f,x)。其中，向量x=[x1,x2,…,xn]。

早期版本的MATLAB符号运算工具箱未提供hessian()函数，可以由嵌套调用的jacobian()函数求解，H=jacobian(jacobian(f,x),x)。

例2-39 试求二元函数的Hesse矩阵。

解 下面语句可以直接求取该函数的Hesse矩阵。

提取指数再化简，得出的结果（或早期版本嵌套调用jacobian()函数）为