引理 IV

如果在两个图形AacE，PprT中，内接（如同上面）两组平行四边形，二者数目一样，且当宽度减小以至无穷时，一个图形中的平行四边形比另一个图形中的平行四边形的最终比，一个对一个，是相同的；我说，这两个图形AacE，PprT彼此按照那个相同的比。

因为［在一个图形中的］一个平行四边形比［在另一个图形中对应的］一个平行四边形，如同（由复合）［在一个图形中平行四边形的］总和比［在另一个图形中平行四边形的］总和，并且如同一个图形比另一个图形［按照等量之比］；因为前一图形（由引理III）比前一和，以及后一图形比后一和，按照等量之比。此即所证。

系理 因此，如果两种任意类型的量按同样的份数被任意划分，那些部分在数目增加且它们的大小减小以至无穷时，彼此之间保持给定的比，第一个对第一个，第二个对第二个，其余的按顺序对其余的：则整个部分彼此之间按照那个相同的给定的比。因为，如果在这个引理的图形中，平行四边形被取得彼此如同［量的］部分，则部分之和总如同矩形之和；因此，当部分及平行四边形的数目增加且大小减小以至无穷时，部分和将按照［一个图形中的］平行四边形比［另一个图形中的］平行四边形的最终比，亦即（由假设）将按照［一个量中的］部分比［另一个量中的］部分的最终比。