3.2 输电线路电磁场分析
当电磁场随时间变化缓慢，在保证工程计算精度的前提下，可以忽略因电场变化产生的磁场和磁场变化产生的电场，场的滞后效应消失，此时描述电场和磁场的方程不需要联立求解，输电线路产生的电磁场就属于这一情况。因此，可采用求解静态电磁场的方法求解输电线路电磁场，区别仅在于准静态电磁场计算中的场量是时间的函数。
3.2.1 输电线路电磁场的基本分析
1.电荷q
一般认为原子由带正电的质子、带负电的电子和不带电的中子组成，在电平衡状态下，正电和负电相等，原子呈电中性。单个电子或质子的电量最早由库仑测得，其值约为q=1.602×10-19C，一个物体所带的总电荷Q为其所带所有的电荷q的总和。一般认为电荷有静止和运动两种状态，静止的电荷处于物体中不发生运动，运动的电荷在外力作用下在物体中运动。
2.电流i
电流定义为在给定时间内流过给定截面的电荷量，即
式中 i——电流，A(C/s),负号表示电流的正方向是电荷运动的反方向，这个规定在电工学中由来已久，是一种人为的约定。
3.电压u
电压是衡量电荷在电场中由于电势不同所产生的能量差的物理量，是描述电荷做定向运动原因的物理量，欧姆定律指出了电压与电流的关系,即
式中 i——物体中流过的电流，A；
z——物体的阻抗，Ω；
u——电位差，V。
输电线路存在的电压和电流会在其周围产生电磁场，并对处于该电磁场中的物体产生影响。这个特性是很多电力应用的基础，造福了整个社会，如变压器、发电机、电动机、收音机、手机等。同时，输电线路产生的电磁场可能会使其周围物体中的电压上升到一个不安全的水平。电磁场是电场和磁场的统称，电场由电压产生，磁场由电流产生，他们的大小分别取决于电压和电流的大小。
4.电场和电位差
库仑定律指出了真空中两个带电粒子相互作用所受的库仑力的情况，即
式中 F——吸引力或排斥力，N；
d——电荷间的距离，m；
Q1、Q2——电荷，C；
ε0——真空中的介电常数，其值为8.85×10-12F/m。
库仑力描述了一个电荷作用于另一个电荷的力，力的方向沿着两个电荷之间的连线的方向。如果两个电荷带同种电荷，则力为排斥力；如果两个电荷带异种电荷，则力为吸引力，方向如图3-2所示。
图3-2 库仑力
电场强度可用试探电荷q在该点所受电场力与其所带电量的比值定义,即
式中 E——电场强度，V/m。
电场线是一种直观描述电场分布的假象曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场强度方向垂直，曲线密度越大的地方电场强度就越大，如图3-3所示。
图3-3 电场线
将式（3-3）代入式（3-4），得电荷Q在距离x处产生的电场强度为
设电荷Q表面的电位为参考电位，则与电荷Q距离为x远处的电位差定义为Q所产生的电场将试验电荷q从电荷Q表面移动到x处的累积效应，记为
式中 r——电荷Q的半径；
Δu——电荷Q表面与空间x点处的电位差。
图3-4 等位面
将式（3-5）代入式（3-6）得
图3-4为电荷Q及其产生的电场，当试验电荷q在距离电荷Q恒定距离为x的面上的任意位置时，电场强度E的大小不变，这个面称为等位面。
5.磁场和压降
电荷的运动产生电流，电流产生磁场，磁场的大小由电流的大小决定，方向取决于电流的方向。图3-5为电流产生磁场的示意图。
如果带电流物体处于均匀介质（如空气）中，则该物体所载电流i与其产生的磁通量Φ有一个恒定的关系，用电感描述为
式中 Φ——载流物体周围的磁通量，Wb；
i——物体中的电流；
图3-5 磁场
L——电感，H。
磁通量密度B定义为通过单位面积的磁通量
式中 B——磁通量密度，Wb/m2。
对一个给定的面积来说，可将该面积分解为磁通量能够垂直通过的有限个小面积，如图3-6所示，各小面积处的磁通量密度为
式中 Bx——通过x处小面积dAx的磁通量密度；
dl——小面积的长；
dx——小面积的宽。
磁场分析中常用的一个变量是磁链Λ，用来描述围绕着物体的磁通量Φ，如图3-7所示。图中显示了一个电流方向朝纸内的载流导体和其附近的一个物体，磁链Λc表示从载流体表面到无穷远处之间的磁通量；磁链Λo表示从物体表面到无穷远处之间的磁通量。
图3-6 磁通量密度
图3-7 磁链
工程中，磁链Λ通常按单位长度载流体来计算，即
式中 λ——单位长度磁链，Wb/m；
l——产生磁通量的载流体的长度。
据此，式（3-10）可改写为
磁场强度H定义为
式中 μr——相对磁导率，其值取决于空间属性，对于空气来说，μr=1；
μ0——绝对磁导率，μ0=4π×10-7H/m。
磁场强度H与电流i的关系由安培环路定律描述，即
安培定律显示，磁场强度H对闭合路径s的积分等于这个闭合路径中通过的电流i。图3-7中距离载流体中心x距离处的闭合路径是一个圆圈，应用式（3-14）得
应用式（3-12）、式（3-13）和式（3-15），可求得空间任意两点a和b之间的磁链为
a、b两点间单位长度的压降即可求得，为
式中 uab——空间a、b两点间单位长度的压降，V/m。
3.2.2 Maxwell方程组
1865年Maxwell在前人实验的基础上进行了数学归纳并提出了位移电流的概念，总结出了Maxwell方程组，完善了电磁场理论。其1873年出版的《电磁通论》（《Treatise on Electricity and Magnetism》）一书充分反映了电磁场的客观规律，奠定了经典的电磁学理论。Maxwell方程组指出，电场不仅可由电荷产生，也由变化的磁场产生；磁场不仅由传导电流和运流电流产生，也可由变化的电场产生。当研究电磁场的一般情况时，应从这两点出发，来求得一般情况下电磁场的普遍规律，这就是Maxwell方程组，即电磁场基本方程。
根据电磁场基本方程，当无限大空间中电荷和电流的分布及它们随时间的变化规律都给定时，可由场的初始情况来决定其发展。由电磁场的唯一性定理可知，根据Maxwell方程和给定的边值和初始值，可得出唯一的解。所以Maxwell方程就是电磁场的基本方程，它反映了各场量和场源（即电荷与电流）之间的关系。通常用E、D、B、H来表示电磁场中的电场强度、电通量密度、磁通量密度、磁场强度，用q与i表示电荷与电流,则Maxwell方程组为
场量之间的关系为
式中 J——电流密度，包含运流电流密度Jv和传导电流密度Jc，A/m2；
γ——电导率，S/m；
ρ——电荷的体密度，C/m3；
v——媒质的运动速度，m/s。
不同媒质的分界面上有
式中 t——沿媒质分界面切向方向；
n——沿媒质分界面法向方向；
Kt——沿切线方向的电流线密度，A/m；
σs——分界面上自由存在的面电荷密度，A/m2。
3.2.3 常见的电磁场求解方法
工程应用中求解电磁场问题的基本过程可归纳为：①根据物理场域和媒质特性建立数学模型，即根据Maxwell理论导出的控制方程，结合定解条件以及源函数构成一个初值或边值问题；②利用某种数学方法进行求解。
电磁场的求解方法有图解法、模拟法、解析法和数值分析法等。经典的解析法是100多年来电磁学学科中最为重要的计算手段，但其推导过程相当繁琐和困难，只能求解具有简单几何形状的电磁场问题，可求解的问题非常有限，极大地制约了电磁学的应用。20世纪60年代以来，伴随着电子计算机的快速发展，大规模和复杂情况下的电磁场计算成为了可能，电磁场的各种计算方法，尤其是数值分析方法（包括有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法等）得到了快速发展，将电磁学的应用推向了一个新高度。为叙述简洁起见，本节将以电场强度计算为例（磁场计算具有类似的数学描述，只是对应的物理量不同），对几种常用的电磁场求解方法（模拟法和数值分析法中的有限差分法、有限元法）进行介绍。
1.模拟法
模拟法以静电场的镜像法为理论基础，此种方法将外形封闭的导体表面电荷用内部电荷来模拟等效，这些内部电荷产生的电力线和等位线与原来的相同，从而达到用一组内部电荷来表示某些预定形状的等位面的目的。
显然，等效电荷的数量越多，用来表示的导体的形状就越精确。根据所代表带电体特有的几何形状，可以用点电荷、线电荷（表示管子或圆柱形导体）、环形电荷（表示圆环或球）等来表示。采用这种方法描述电场时需要用到许多电荷和表面电位组成的线性方程组，方程组的数量与描述导体表面电位的点的数量相同。当点数很多时，只能依靠计算机求解。
如果Qi代表第i个等效电荷，那么其在空间任意位置产生的电场强度和电位可分别根据式（3-5）和式 （3-7）求得，n个等效电荷求得的场量的矢量和即为最终解。
2.有限差分法
有限差分法将电磁场连续场域内的问题转换为离散系统的问题来求解，它以网格化的形式来离散模型，通过对网格中各离散点进行数值求解来逼近连续场域内的真实解，也就是用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，将需要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程组并进行求解。
图3-8 有限差分法：部分场域内的网格
以二维泊松场问题为例。设网格为边长为h的正方形，点i的坐标为（xi，yi），电位为ui，如图3-8所示。
应用泰勒公式，任意点i的电位ui可表示为
那么，点0处的电位就可用其周围的四个点1、2、3、4来描述，在求解误差一定、采取的网格足够精细时，级数可以只取前两项，则
据此，在整个求解域内可建立含有n个未知数的n个方程，联立求解即得每个节点的电位。由电位可以很容易地求得电场强度，即
特别指出，该方法的收敛性和计算结果精度与网格的精细程度有很大关系。
3.有限元法
有限元法的基本原理是将整个求解域分割成许多很小的子区域，每个子区域的几何形状简单（如三角形、四边形、四面体、六面体等），且处于同一种物质中，子区域之间通过节点和边相连，将求解边值问题的原理应用于求解这些子区域中，整个求解域的能量保持最低，由所有子区域的结果总和得到整个区域的解。
因此，面对电磁场问题时，有限元法的数值解法就是预先列出这些子区域内部电位或矢量磁位的多项式，然后寻找节点的电位、矢量磁位的值，这个值使得每个子区域中的电磁场能量最低。该方法的优点在于可以计算得到整个求解域内部的电磁场，在研究具有复杂外形、不同材料的电磁场问题时非常有效。另外，随着现代计算机科学的飞速发展，早些年因计算能力不足在面对大型复杂问题时无法采用有限元法的困境也得到了极大改善。
有限元法的求解流程如下：
（1）根据描述求解对象的偏微分方程边值问题列出等价的条件变分问题。
（2）将待求解区域分割成有限个子区域，这些子区域的形状原则上是任意的。
（3）在这些子区域中构造出线性插值函数。
（4）将能量泛函极值问题转换成能量函数的极值问题，建立有限个代数方程组。
（5）求解代数方程组，得到子区域结果和整个区域的解。