3.2　平面力偶系的合成与平衡

设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为M1、M2、…、Mn。现在想用一个最简单的力系来等效替换原力偶系，为此采取下述步骤（为方便起见，不失一般性，取n＝2，如图3-5所示）。

（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使它们有共同的臂长d，则有

即

这是调整后各力的大小。

（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。

（3）求各共线力系的代数和。每个共线力系得一合力，而这两个合力等值、反向，相距为d构成一个合力偶，其力偶矩为

即，平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。

由于力偶矩是力偶作用效果的唯一度量，故以后图示力偶时，也可用图3-6所示的简化记号。

对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此平面力偶系的平衡方程式为：

故平面力偶系只有一个平衡方程，因此最多可以求解一个未知数。

【例3-3】　如图3-7（a）所示，机构的自重不计，圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1＝2kN·m，OA＝r＝0.5m。图示位置时OA与OB垂直，α＝30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M2及铰链O、B处的约束反力。

解：先取圆轮为研究对象，其上受有矩为M1的力偶及光滑导槽对销子A的作用力FA和铰链O处约束反力FO的作用。由于力偶必须由力偶来平衡，因而FO与FA必定组成一力偶，力偶矩方向与M1相反，由于FO与FA等值且反向，由此定出FA指向如图3-7（b）所示。由力偶平衡条件

解得

再以摇杆BC为研究对象，其上作用有矩为M2的力偶及力与FB，如图3-7（c）所示。同理与FB必组成力偶，由平衡条件

其中。将式（a）代入式（b），得

FO与FA组成力偶，FB与组成力偶，则有

方向如图3-7（b）、图3-7（c）所示。