任务二　轴向拉伸和压缩杆件截面上的应力

一、横截面上的正应力

取一等截面直杆,实验之前,在杆的表面刻画出两条垂直于轴线的横向线ab、cd及平行于杆轴的纵向直线ef、gh[图4-2(a)]。加上轴向拉力F后可以观测到杆件的变形现象：

(1)横向线ab、cd分别移到a'b'、c'd'位置,但仍保持为直线[见图4-2(a)中虚线],并且仍然垂直于杆轴线。

(2)纵向线ef、gh分别伸长为e'f'、g'h',但仍然保持与杆轴线平行[见图4-2(a)中虚线]。

根据以上变形现象,可作出假设如下：轴向拉(压)时,变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面且与轴线垂直,这就是平面假设。

根据平面假设可以断定拉杆所有纵向纤维的伸长相等。又因材料是均匀的,各纵向纤维的性质相同,因而其受力也就一样。所以,杆件横截面上的内力即轴力是均匀分布的,即在横截面上各点的应力相等[图4-2(b)],其方向与轴力N方向一致,故横截面上应力为正应力,即

这就是拉杆横截面上正应力的计算公式,它也适用于直杆压缩的情况。正应力符号与轴力的符号规定一样,拉应力为正,压应力为负。

由于拉压杆横截面上各点的正应力相同,故求其应力时只需确定截面,不必指明点的位置。

实验证明：在靠近外力F作用点处,拉压杆的变形不满足平面假设,应用式(4-2)只能计算该区域内横截面上的平均应力。但根据圣维南原理,这一范围不大。因此,工程中一般将二力之间截面上各点的应力均用式(4-2)计算。

【例4-1】　一横截面为正方形的砖柱,分上、下两段,其受力情况、各段横截面尺寸如图4-3(a)所示,F＝60kN,砖柱自重忽略不计,试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先画立柱的轴力图,如图4-3(a)所示。

由于砖柱为变截面杆,故需分段求出每段横截面上的正应力,再进行比较,确定全柱的最大工作应力。

由上述计算结果可见,砖柱的最大工作应力在柱的下段,其值为1.31MPa,是压应力。

【例4-2】　图4-4(a)所示为起重机机架,承受荷载FG＝20kN,若BC杆和BD杆横截面面积分别为ABC＝400mm2和ABD＝100mm2。试求此两杆横截面上的应力。

解：(1)求杆的内力。

取B结点为研究对象,画受力图[图4-4(b)]。

由平衡条件∑Fx＝0、∑Fy＝0得

(2)求杆横截面上的应力。

二、斜截面上的应力

上面分析了横截面上的正应力,并以它作为强度计算的依据。但实验表明拉(压)杆的破坏,并不一定沿横截面,而有时是沿斜截面发生的。例如铸铁压缩时沿着约与轴成45°斜截面断裂破坏。为了更全面地研究拉(压)杆的强度,应该进一步讨论斜截面上的应力。

按照证明横截面上应力均匀分布的方法,也可以得出斜截面上的应力均匀分布的结论,如图4-5(c)所示。

用截面法对拉(压)杆斜截面进行应力分析,由静力学关系可得

式中：为横截面上的正应力[图4-5(b)]；pα称为斜截面上的全应力,通常把pα分解为两个分量,即垂直于α截面的正应力σα和相切于α截面的剪应力τα。由图4-5(d)可知

式(4-3)和式(4-4)表明拉(压)杆斜截面上任一点既有正应力σα,又有剪应力τα,并且它们都随斜截面的方位角α的变化而变化。由式(4-3)可知,最大正应力发生在α＝0的横截面上,其值为σmax＝σ0；最大剪应力发生在α＝45°的斜截面上,其值为。

关于α、σα和τα的符号规定如下：角α自杆轴线向斜截面外法线n旋转,逆时针转为正,顺时针转为负；正应力σα仍以拉应力为正,压应力为负；剪应力τα以其对截面内侧任一点顺时针转为正,反之为负(图4-6)。

【例4-3】　一轴向受拉杆[图4-7(a)],已知拉力F＝100kN,横截面面积A＝1000mm2。试求α＝30°和α＝120°两个正交截面上的应力。

解：由式(4-2)可得横截面上的正应力为

(1)计算α＝30°斜截面上的应力。由式(4-3)、式(4-4)得

(2)计算α＝120°斜截面上的应力

由[例4-3]计算结果可知,在α＝30°和α＝120°两个正交截面上的剪应力数值相等但符号相反。此结果具有一般性,即在受力构件内互相垂直的任意两截面上,剪应力必然成对出现,且两者数值大小相等而符号相反,其方向同时指向或同时离开两截面的交线[图4-7(b)]。这一结论称为剪应力互等定理。