3.4　向量积：测量定向区域

如前所述，向量积以两个三维向量和作为输入，其输出是另一个三维向量。它与点积的相似之处在于，输入向量的长度和相对方向决定了输出；但不同之处在于，它的输出不仅有大小，还有方向。我们需要仔细思考三维空间中方向的概念，以理解向量积的作用。

3.4.1　在三维空间中确定自己的朝向

在本章开头介绍轴、轴和轴时，我提出了两点：第一，我承诺常见的平面存在于三维世界中；第二，我设定了垂直于平面的方向，且平面在的地方。我没有明确指出的是，轴的正方向是向上的而不是向下的。

换句话说，如果我们从通常的角度来看平面，可以看到轴正半轴从平面上向我们延伸。另一种选择是让轴正半轴远离我们（见图3-34）。

图3-34　像在第2章中那样，在三维空间中定位自己以观察平面。当观察平面时，我们选择正轴指向我们，而不是远离我们

这里的区别并不是角度的问题。这两种选择代表了三维空间的不同方向，从任何角度看都是可以区分的。假设我们漂浮在轴的某个正坐标上，比如图3-34中的上图。可以看到轴的正方向是从轴的正方向逆时针旋转了1/4圈；否则，轴的朝向就是错误的。

现实世界中的很多事物都有方向性，与它们的镜像看起来并不完全相同。例如，鞋的左右脚大小和形状相同，但方向不同。普通的咖啡杯没有方向，没有标记的咖啡杯是没法通过照片来区分的。但如图3-35所示，如果两个咖啡杯在相反的两面上有相同的图案，是可以区分的。

图3-35　没有图案的杯子与其镜像是同一对象，一面有图案的杯子则与其镜像不同

大多数数学家用手作为检测方向的现成工具。我们的手是定向的，所以即使右手或左手不幸脱离身体，我们也能分辨出它们。你能分辨出图3-36中的手是右手还是左手吗？

图3-36　这是右手还是左手

很明显，这是右手：如果是左手，指尖上不可能有指甲！数学家可以用手来区分坐标轴的两种可能方向，称为右手方向和左手方向。右手方向的规则如图3-37所示：如果右手食指指向轴正方向，中指、无名指和小指向轴正方向弯曲，那么你的拇指就会指明轴的正方向。

图3-37　右手规则帮助我们记住选择的方向

这就是右手规则，如果它与你的坐标轴一致，那么你就（正确地）使用了右手方向。方向很重要！如果你正在实现程序来控制无人机或腹腔镜手术机器人，就需要保持上、下、左、右、前、后是一致的。向量积作为定向机器，可以帮助我们在所有的计算中跟踪方向。

3.4.2　找到向量积的方向

在告诉你如何计算向量积之前，我想向你展示它的样子。已知两个输入向量，向量积的结果垂直于这两个向量。例如，如果，，那么向量积恰好是(0, 0, 1)，如图3-38所示。

图3-38　和的向量积

事实上，如图3-39所示，平面内任意两个向量的向量积都位于轴上。

图3-39　平面内任意两个向量的向量积都位于轴上

这清楚地说明了为什么向量积在二维中不起作用：它返回的向量位于包含两个输入向量的平面之外。我们可以看到，向量积的输出总是垂直于两个输入，即使输入并不在平面内也是一样（见图3-40）。

图3-40　向量积总是返回垂直于两个输入的向量

但是有两个可能的垂直方向，向量积只能在其中之一上。例如，(1, 0, 0) × (0, 1, 0)的结果正好是(0, 0, 1)，指向轴正方向。轴上的任何向量，不管是正还是负，都垂直于这两个输入。为什么结果会指向正方向？

这就是方向的作用：向量积也遵循右手规则。一旦你找到了垂直于两个输入向量和的方向，向量积的方向就将三个向量、和置于了右手系中。也就是说，我们可以将右手食指指向的方向，将三指弯向，拇指指向的就是的方向（见图3-41）。

图3-41　右手规则告诉我们向量积指向哪个垂直方向

当输入向量位于两个坐标轴上时，不难找到它们的向量积指向的确切方向：它指向剩余坐标轴的一个方向。一般来说，如果不计算它们的向量积，就很难描述垂直于两个向量的方向。我们一旦知道如何计算它，就掌握了一个非常有用的特征。但是向量并不仅仅指定方向，还指定了长度。向量积的长度也蕴含有用的信息。

3.4.3　求向量积的长度

和点积一样，向量积的长度也是一个数，它提供了关于输入向量的相对位置的信息。它测量的并不是两个向量的对齐程度，而更像是“它们的垂直程度”。更准确地说，它告诉我们两个输入之间的面积有多大（见图3-42）。

图3-42　向量积的长度等于一个平行四边形的面积

如图3-42所示，以和为边的平行四边形的面积等于向量积的长度。对于给定长度的两个向量，在它们垂直时张成的面积最大。如果和在同一方向上，则张不成任何面积，向量积的长度为零。这是显而易见的：如果两个输入向量平行，则不存在唯一的垂直方向。

与结果的方向搭配，结果的长度能给我们一个精确的向量。平面上的两个向量保证有指向轴正方向或负方向的向量积。从图3-43中可以看到，平面向量张成的平行四边形越大，向量积越长。

图3-43　根据张成的平行四边形的面积，平面上的向量对具有不同大小的向量积

平行四边形的面积有一个三角公式：如果和的夹角为，面积就是。我们可以结合长度和方向来求一些简单的向量积。例如，(0, 2, 0)和(0, 0, -2)的向量积是多少？这两个向量分别位于轴和轴上，所以要想与它们垂直，向量积必须位于轴上。我们用右手定则来求出结果的方向。

用食指指向第一个向量的方向（轴正方向），再把三根手指弯向第二个向量的方向（轴负方向），我们发现大拇指指向轴负方向。向量积的大小是，因为轴和轴相交成90°角。（在这种情况下，平行四边形恰好是一个边长为2的正方形。)求得向量积的大小是4，所以结果是(-4, 0, 0)：在轴负方向上长度为4的向量。

看起来，通过几何方法计算向量积是一种有良好定义的运算，但是这并不实用。一般来说，当向量并不总在坐标轴上时，要找到垂直结果所需的坐标并不容易。幸运的是，有一个明确的公式可以用输入坐标来计算向量积的坐标。

3.4.4　计算三维向量的向量积

向量积的公式乍一看很复杂，但我们可以用Python函数快速把它包装起来，然后毫不费力地进行计算。首先从和的坐标开始。虽然可以将其坐标设置成和，但是使用更好的符号会更清楚：和。比起用这样的任意字母来称呼它，记住是的坐标更加容易。根据这些坐标，向量积的公式为：

如果使用Python，则如下所示。

def cross(u, v):
    ux,uy,uz = u
    vx,vy,vz = v
    return (uy*vz - uz*vy, uz*vx - ux*vz, ux*vy - uy*vx)

你可以在练习中试着使用这个公式。注意，与我们目前使用的大多数公式相比，这个公式似乎不能很好地推广到其他维度。它要求输入向量必须有三个分量。

这个代数程序与本章中的几何描述一致。因为它能给出面积和方向，所以向量积可以帮助我们判断，能否在三维空间中看到同样浮在空间中的多边形。例如，如图3-44所示，站在轴上的观察者是看不到和张成的平行四边形的。

图3-44　向量积指出多边形对观察者是否可见

换句话说，图3-44中的多边形与观察者的视线平行。利用向量积，我们不用画图也能知道这一点。因为向量积与人的视线垂直，所以多边形是不可见的。

现在是时候开始我们的终极项目了：用多边形构建一个三维对象，并在二维画布上绘制它。你会使用到目前为止见过的所有向量操作。特别是，向量积将帮你判断哪些多边形是可见的。

3.4.5　练习

练习3.19：如图3-45所示，各图中都存在三个相互垂直的箭头，分别表示轴、轴和轴的正方向。在这些显示为三维框的透视图中，框的背面是灰色的。四幅图中的哪一个与我们选择的相符？也就是说，哪张图显示了我们所画的轴、轴和轴，即使从不同的角度来看也是如此？

图3-45　以上哪些轴线与我们约定的方向一致

解：从上向下看图3-45a，我们会像往常一样看到轴和轴，且轴指向我们。与我们约定的方向一致的是图3-45a。

在图3-45b中，轴指向我们，而轴正方向与轴正方向顺时针成90°角。这与我们的方向不一致。

如果我们从轴正方向上的某点看图3-45c（从框的左侧），会看到轴正方向与轴正方向逆时针成90°角。图3-45c也与我们的方向一致。

从框左侧看图3-45d，轴正方向应该是朝向我们的，轴正方向仍位于轴正方向的逆时针方向。这与我们的方向也是一致的。

 

练习3.20：如果把三条坐标轴立在镜子前，镜子里图像的方向是相同的还是不同的呢？

解：镜像的方向是相反的。从这个角度看，轴和轴仍然指向相同的方向。在原图中，轴正半轴在轴正半轴的顺时针方向，但在镜像中变成了逆时针方向（见图3-46）。

图3-46　轴、轴和轴及其镜像

 

练习3.21：(0, 0, 3) × (0, -2, 0)的结果指向什么方向？

解：如果我们把右手食指指向(0, 0, 3)，也就是轴正方向，然后弯曲三指指向(0, -2, 0)，即轴负方向，则大拇指会指向轴正方向。因此，(0, 0, 3) × (0, -2, 0)指向轴正方向。

 

练习3.22：(1, -2, 1)和(-6, 12, -6)向量积的坐标是多少？

解：这些向量互为彼此的负标量乘积，它们指向相反的方向且不会张成任何面积。因此，向量积的长度为零。唯一一个长度为零的向量是(0, 0, 0)，这就是答案。

 

练习3.23（小项目）：如图3-47所示，平行四边形的面积等于它的底边长乘以它的高。

图　3-47

基于此，请解释公式是有意义的。

解：在图3-48中，向量定义了底边，所以底边长度为。可以从的头部到底边画一个直角三角形。的长度就是斜边，而三角形的高就是我们要找的高。根据正弦函数的定义，高为。

图3-48　平行四边形的面积公式使用其一个角的正弦来表示

因为底长为，高是，所以平行四边形的面积确实是。

 

练习3.24：向量积(1, 0, 1) × (-1, 0, 0)的结果是什么？

(a) (0, 1, 0)

(b) (0, -1, 0)

(c) (0, -1, -1)

(d) (0, 1, -1)

解：这些向量位于平面，所以它们的向量积在轴上。将右手食指指向(1, 0, 1)的方向，并将三指向(-1, 0, 0)方向弯曲，则拇指会指向轴负方向（见图3-49）。

图3-49　通过几何方法来计算(1, 0, 1)和(−1, 0, 0)的向量积

可以求出向量的长度和它们之间的夹角，从而得到向量积的大小，但我们已经从坐标中得到了底长和高。因为它们都是1，所以长度也是1。因此，向量积为(0, -1, 0)，它是轴负方向上长度为1的向量，答案是(b)。

 

练习3.25：使用Python的cross函数计算，其中第二个向量是几个不同的值。每个结果的坐标是多少，为什么？

解：无论选择哪个向量，结果的坐标都是零。

>>> cross((0,0,1),(1,2,3))
(-2, 1, 0)
>>> cross((0,0,1),(-1,-1,0))
(1, -1, 0)
>>> cross((0,0,1),(1,-1,5))
(1, 1, 0)

因为，所以和都是零。这意味着不管和的值是多少，向量积公式中的都是零。从几何学上讲，这是有意义的：向量积应该垂直于两个输入，并且垂直于(0, 0, 1)，分量必须为零。

 

练习3.26（小项目）：用代数法证明垂直于和，不管和的坐标是多少。

提示：将和展开成坐标用于证明。

解：在下面的方程中，设，。我们可以将用如下的坐标方式表示，把向量积展开成坐标，并进行点积运算。

在继续展开点积后，我们看到共有6项。每一项都能与另一项抵消。

因为完全展开后，所有项都被抵消了，所以结果是零。为了节省“墨水”，这里不再展示的结果，但情况仍不变：出现了6个项并相互抵消，结果为零。这意味着垂直于和。