2.2　广义相对论基础

1915年爱因斯坦向普鲁士科学院提交了科研论文《万有引力方程》，标志着广义相对论的诞生。

2.2.1　广义相对论的基本假设

广义相对论源于狭义相对论的两个困难。

①惯性系何在？惯性系是相对于绝对空间静止或做匀速直线运动的参考系。但是狭义相对论认为时间和空间都是相对的，根本不存在绝对空间。地球是一个近似的惯性系，太阳是比地球更加近似的惯性系，而银河系是比太阳更加近似的惯性系。那么要到哪里去寻找严格意义上的惯性系呢？

②在狭义相对论中，麦克斯韦电磁理论和动力学方程皆可写成洛伦兹协变形式，但万有引力定律无法写成洛伦兹协变形式，故不能将其纳入狭义相对论的理论框架。

广义相对论建立在下面两个基本原理的基础上。

①局域等效原理。在处于均匀的恒定引力场影响下的惯性系中所发生的一切物理现象，可以和一个不受引力场影响但以恒定加速度运动的非惯性系内的物理现象完全等效。所谓等效，是指引力和惯性力等效，引力质量与惯性质量具有完全等价性。按照等效原理，爱因斯坦把狭义相对性原理推广为广义相对性原理，即物理定律的形式在一切参考系（包括惯性系和非惯性系）中都相同，或者说引力场和惯性力场在无穷小范围内的物理效应不可区分。物体的运动方程就是该参考系中的测地线方程。测地线方程与物体自身的固有性质无关，只取决于时空局域几何，而引力正是时空局域几何性质的表现。

②广义相对性原理。一切参考系都是平权的，物理定律在任何参考系中的形式不变。广义相对性原理将狭义相对论的光速不变原理从惯性系推广到任意参考系，包括非惯性系。非惯性系中普遍存在的惯性力不存在相应的反作用力。

2.2.2　爱因斯坦场方程和运动方程

根据局域等效原理、广义相对性原理和马赫原理，爱因斯坦猜想引力是一种几何效应，应该表现为时空弯曲。在数学中，引力效应应该用度规张量和仿射联络来表示时空曲率。因此，方程的一边应该是物质的能量-动量张量，另一边应该是描述时空几何的张量，所以有

式中，k是比例常数。

在4-维弯曲时空中，物质的能量-动量张量为

式中，(k=1,2,3)，是3-维空间的能量密度矢量；ε，是3-维空间的能量密度标量；(i=1,2,3)，是3-维空间的动量密度矢量。能量-动量张量是对称张量，它有10个分量，所以中，等式左边的时空几何张量也应该对称，并且也应该有10个分量。那么哪个量可以满足上述条件呢？曲率张量不可以，曲率标量R也不可以，因为它们的分量个数不是10。唯有爱因斯坦张量，即

可以。式中，是黎曼空间的里奇张量，

它具有对称性，即，并且满足里奇恒等式；是度规张量。所以爱因斯坦构造的引力场方程，即爱因斯坦场方程为

若考虑宇宙项，则爱因斯坦场方程变为

20世纪20年代哈勃发现宇宙在膨胀；1998年索尔·珀尔马特、布莱恩·施密特与亚当·里斯从用哈勃太空望远镜拍摄的557张宇宙照片中发现宇宙在加速膨胀。驱动宇宙加速膨胀的神秘力量可能就是爱因斯坦场方程中的宇宙项，这也是人们正在探索的暗物质和暗能量。

利用后牛顿近似法可得式（2.2.4）及式（2.2.5）中的比例常数，所以完整的爱因斯坦场方程为

如果忽略宇宙项，并且令，则可得到真空引力场方程，即

这时，说明没有物质的引力场仍然可以存在，时空仍可弯曲。

如果考虑宇宙项，并且令，则引力场方程为

由引力场方程可以求出粒子在弯曲时空中的运动方程。设粒子系统为非相对论理想流体，其能量-动量张量为

式中，ρ是粒子的相对静止质量；是4-维速度。式（2.2.9）满足守恒定律，所以粒子遵循的动力学方程为式（2.2.8），它满足比安基恒等式，即

2阶逆变张量的散度为

利用式（2.2.11），可以变为

即

对式（2.2.13）进行体积分，得

利用高斯定理，式（2.2.14）中间项的积分为

于是式（2.2.14）可简化为

质量守恒的连续性方程为

消去因子1/，然后积分得

对第二项应用高斯定理，注意在积分边界处ρ=0，可知该项积分为零。首先考虑到，则式（2.2.17）在随动局域惯性系中为

式中，，为粒子的静质量，于是式（2.2.15）变为

即，也就是

式（2.2.19）正是粒子在引力场中的运动方程，它可以化成短程线方程，即

2.2.3　广义相对论的预言及观测证据

（1）光线偏折。根据广义相对论，质量使时空弯曲，而物体在弯曲的时空中做惯性运动。远处的恒星发出的光线在途经大质量天体附近时不再沿直线传播，而是向大质量天体偏折，天体质量越大，使光线偏折的角度越大。远处的恒星发出的光线在传播到地球途中经过太阳附近时将发生偏折。爱因斯坦预测光线的偏折角为。1919年5月29日爱丁顿带领考察队到非洲几内亚湾的普林西比和巴西的索布拉尔进行观测，获得的3组数据分别是。由此可见，观测均值与理论值高度吻合。

（2）水星轨道近日点的进动。开普勒定律告诉我们，行星绕太阳运转的轨道是椭圆形的，该椭圆有两个焦点，太阳位于其中一个焦点处。所以行星绕太阳运转的轨道有一个近日点和一个远日点。近日点和远日点都是进动的。水星轨道近日点沿轨道的进动的观测值为/百年，而按照牛顿定律计算出的理论值为，理论值与观测值相差。爱因斯坦根据广义相对论计算出的理论值与按照牛顿定律计算的理论值的偏差是。这证明了广义相对论是比牛顿定律更精确的理论。

太阳系内除水星轨道近日点的进动之外，另外的七大行星及彗星和小行星轨道的近日点也存在进动现象。例如，地球轨道近日点的进动为/百年，金星轨道近日点的进动为/百年。怎样按照广义相对论计算水星轨道近日点的进动呢？方法有多种。莫子杰、陈浩于2015年给出的PLK方法可求出行星轨道周期及行星轨道近日点进动角分别为

对于水星，每百年绕太阳运转415周，其轨道近日点进动角为

（3）引力红移。大质量恒星发出的光的振动周期比同种元素在地球上发出的光的振动周期长，即大质量恒星发出的光的振动频率较小，向红光波段移动，这种现象叫作引力红移。2010年马勒、彼得斯和朱棣文通过物质波干涉实验高精度地证明了引力红移效应。

对于弱引力场，光子质量可看作常数，爱因斯坦推导出的引力红移公式为

史瓦西由广义相对论引力场方程求得的引力红移公式为

包学行于1976年提出微积开概念。2012年6月他从微积开理论出发，对白矮星、中子星等强引力场中的引力红移给出的公式为

式（2.2.23）可化作引力红移的一般形式，即

（4）黑洞。根据广义相对论，恒星上既有由内部轻元素聚变成重元素而产生的自内向外的辐射压，也有自外向内的引力。当这两种力相等时，恒星处于相对稳定状态。

当恒星的辐射压不足以平衡自身引力时，就会出现引力塌缩，从而使星体半径减小，这一过程会因为费米简并压的存在而停止，这时的星体称为白矮星。对于质量超过1.4倍太阳质量的白矮星，费米简并压不足以抗衡引力塌缩，星体半径会进一步减小，质子、电子合并生成中子和中微子，出现中子简并压抗衡引力，这时的星体称为中子星或脉冲星。质量大于3.2倍太阳质量的中子星将继续出现引力塌缩，形成黑洞。黑洞具有强大的引力场，事件视界就是黑洞的边界。黑洞的内部空无一物，其中心称为奇点。接近黑洞的任何星际物质都将被它吞噬，就连光线也不例外。白矮星、中子星和黑洞都已被天文学家发现。1971年美国自由号人造卫星发现银河系中心的巨型黑洞。

1916年史瓦西通过求解爱因斯坦场方程，得到一个球对称真空解。1967年约翰·阿奇博尔德·惠勒提出关于黑洞的科学概念；1969年罗杰·彭若斯提出宇宙监督假设；1972年霍金等人提出黑洞热力学四定律，并在1974年将量子场论应用于黑洞研究，证明了黑洞存在热辐射；1996年安第·斯楚明格和伐发运用弦理论计算出了黑洞的熵。2005年3月中国学者王永久出版了学术巨著《黑洞物理学》；北京师范大学的赵峥教授在2014年12月出版了专著《看不见的星：黑洞与时间之河》，在2016年4月再版了专著《黑洞的热性质与时空奇异性》。

（5）引力波。爱因斯坦关于引力波的预言已被证实。2016年人们利用LIGO探测到大麦哲伦星系方向13亿光年外的一对双星黑洞因为合并而导致的引力波爆发。这次引力波爆发的能量级别相当于3个太阳质量，造成LIGO的干涉条纹发生了微小变化。这是人类首次直接探测到引力波。