1.4.1　矩阵的特征值与特征向量

定义1-37　设A是n阶方阵，若存在数和n维非零向量，使得

则称数为矩阵A的一个特征值，非零向量称为矩阵A对应于（或属于）的特征向量。

显然，由定义知例1-35中的4和-1均为矩阵A的特征值，而是对应于特征值4的特征向量，是对应于特征值-1的特征向量。若取向量，则，故不是A的特征向量。

值得指出的是，特征值是由特征向量唯一确定的，即一个特征向量对应于一个特征值。事实上，若，，那么有，因为，故。反之，特征向量不是被特征值唯一确定的，即一个特征值可以有许多对应于它的特征向量。这是因为当为方阵对应于特征值的特征向量时，总有=（为非零常数），所以（）都为对应于的特征向量。

式（1.14）可以等价地改写成

这是一个包含n个未知量、n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式。由行列式的性质知，n阶行列式的展开式是一个关于的n次多项式：

称为方阵关于的特征多项式；称为方阵A的特征方程；特征方程的根就是方阵的特征值，也称为方阵的特征根；特征方程的k重根，称为方阵的重特征值（根）。

n阶方阵A的特征值是A的特征方程的根，其对应的特征向量则是其相应的齐次线性方程组的解向量。因此得到计算n阶方阵A的特征值和特征向量的具体步骤如下：

（1）写出A的特征多项式，求出特征方程全部的根，即A的全部特征值；

（2）将求得的每个特征值代入齐次线性方程组，求出一个基础解系：，则对应于的全部特征向量为

例1-36　求方阵的特征值和特征向量。

解：，所以的特征方程为=0，解得的三个特征值为。

对于，解方程组，由

得基础解系，所以对应于的全部特征向量是。

对于，解方程组，由

得基础解系，所以对应于的全部特征向量是。

对于，解方程组0，由

得基础解系，所以对应于的全部特征向量是

由例1-36可以得出，上三角矩阵的特征值即在主对角线上的n个元素，容易得出，对下三角矩阵及对角矩阵，均有同样结论。

性质1-13　设n阶方阵有n个特征值（重特征值算作k个特征值），则必有

（1）；

（2）。

其中，是的主对角线元素之和，称为方阵的迹，记作。

推论1-10　对n阶方阵，可逆的特征值不为0。

性质1-14　若为可逆矩阵，为的特征值，是对应于的特征向量，则有

（1）有特征值，对应的特征向量为；

（2）有特征值，对应的特征向量为。

例1-37　设有4阶方阵满足条件，其中E为4阶单位阵，求方阵的伴随阵的一个特征值。

解：由0知，的一个特征值为，又因，，对两边取行列式：

所以，由性质1-13知，的一个特征值为。

性质1-15　设为的m次多项式，记为方阵的多项式。若为的一个特征值，为对应的特征向量，则是的特征值，且为对应的特征向量。

例1-38　3阶方阵有特征值1,-1,2，若，求|A|,|B|。

解：，设，则，仍为3阶方阵，，，为B所有的特征值，故。

性质1-16　方阵的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。

推论1-11　设是n阶方阵的s个互不相同的特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量构成的向量组线性无关。

从下面的例子可以看到矩阵的特征值与特征向量的实际含义，它们在动态线性系统变化趋势的讨论中有着十分重要的作用。

例1-39　假定某省人口总数m保持不变，每年有20%的农村人口流入城镇，有10%的城镇人口流入农村，试讨论n年后，该省城镇人口与农村人口最终是否会趋于“稳定状态”。

解：设第n年该省城镇人口数与农村人口数分别为。由题意知，

记，式（1.15）等价于，因此可得第n年的人口数向量与第一年（初始年）的人口数向量的关系：

容易算出的特征值为：，对应的特征向量；，对应的特征向量。线性无关，因此可由线性表示，不妨设为

下面仅在非负情况下，讨论第n年该省城镇人口数与农村人口数的分布状态。

（1）若，即=，表明城镇人口数与农村人口数保持2:1的比例，则在第n年，，两者仍保持2:1的比例，这个比例关系是由特征向量确定的，而这里表明城镇人口数与农村人口数没有改变（无增减），此时处于一种平衡稳定的状态。

（2）由于人口数不为负数，故。

（3）若（k1,k2均不为零），则。解之得

故第n年有

即第n年的城镇人口数与农村人口数分布状态为

在式（1.16）中，令，有。这表明，该省的城镇人口与农村人口最终会趋于“稳定状态”，即最终该省人口趋于平均每3人中有2人为城镇人口、1人为农村人口。同时可以看出，人口数比例将主要由最大的正特征值所对应的特征向量决定。随着时间的增加，这一特征愈加明显。

以上例子中的分析方法也适用于工程技术等其他领域中动态系统的研究，这类系统具有相同形式的数学模型，即或（为初始状态向量）。例1-39采用的计算方法是向量运算方法，下面将引入相似矩阵和矩阵对角化，通过矩阵运算方法来快速计算，这也是常用且使用范围更为广泛的重要方法。