第1章
参数方程

在一般的微积分教材中，曲线是主要的研究课题之一，内容主要包括分析曲线形状、讨论曲线弧长．

曲线的本质可以通过一个参数（即单参数）来描述．在实际生活中，一根线或者一条细绳就是典型的曲线原型，这根线如果被拉直就为直线，而直线显然是可以用单参数来描述的．由于函数曲线本身具有复杂性，除了按照连续性对曲线进行分类外，还可以进一步将曲线分为光滑曲线和非光滑曲线．实际上，还存在处处不可微，即处处不光滑的连续曲线，如魏尔斯特拉斯（Weierstrass）函数曲线，如图1-1所示，其表达式为

式中，．

图1-1　魏尔斯特拉斯函数曲线

（a）一个周期内的曲线，x∈[0, 2π]；（b）x∈[0, π/1 000]的曲线

本书讨论的曲线都是单参数光滑曲线或者分段光滑曲线．所谓“光滑曲线”，是指处处有连续导数（也就是有切线）的曲线．基于该讨论范围，本书的曲线指的是平面曲线（即二维曲线）和空间曲线（即三维曲线），曲面则只是三维空间曲面．