3.2　单一参数的正弦交流电路

用来表示电路元件基本性质的物理量称为电路参数。电阻、电感、电容是交流电路的三个基本参数。仅具有一种电路参数的电路称为单一参数电路。只有掌握单一参数电路的基本规律，才能对复杂交流电路进行研究分析。

3.2.1　电阻元件的正弦交流电路

1．电压和电流的关系

在图3.7（a）所示电路中，设

根据电阻元件的电压、电流关系，得

由此可见，电阻元件的电压与电流为同频率正弦量。

（1）电压与电流的相位关系

因为，初相位相等，所以电阻元件上电压、电流同相位。波形图如图3.7（b）所示。

（2）电压与电流的大小关系

即电阻元件上正弦量的有效值和最大值都满足欧姆定律。

（3）电压与电流的相量关系

电阻元件上正弦电压与电流的相量图如图3.7（c）所示。其相量式为

所以

电阻元件上正弦电压与电流的相量关系亦满足欧姆定律。

2．功率

（1）瞬时功率

任何元件上的瞬时功率都可表示为瞬时电压和瞬时电流的乘积，即

电阻元件的瞬时功率为

瞬时功率的波形图如图3.7（b）所示，它包含一个恒定分量和一个两倍于电源频率的周期量。在任意时刻，瞬时功率都大于等于零，这表明电阻始终消耗电能。

（2）平均功率

平均功率是电路在一个周期内消耗电能的平均速率，即瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。电阻元件上的平均功率为

电阻上的平均功率是电阻元件上电压与电流有效值的乘积，根据电阻元件上电压和电流有效值的关系，也可表示为

平均功率也称有功功率。有功功率的单位为W（瓦）或kW（千瓦）。

3.2.2　电感元件的正弦交流电路

1．电压和电流的关系

在图3.8（a）所示电路中，设

根据电感元件上的电压、电流关系，得

即

由此可见，电感元件上的电压和电流为同频率正弦量。

（1）电压和电流的相位关系

由式（3.14）可知，当电感中电流的初相位为0°时，其电压的初相位为90°。所以，电感元件上电压超前于电流90°，或称电流滞后于电压90°。电压与电流的波形图如图3.8（b）所示。

（2）电压和电流的大小关系

式中

称为感抗，是电感上电压的有效值（幅值）与电流的有效值（幅值）之比，单位为Ω（欧姆）。它和电阻一样，具有阻碍电流通过的能力。与频率成正比，频率越高，感抗越大；频率越低，感抗越小。可见，电感元件具有阻高频电流，通低频电流的作用。在直流电路中，，这表明电感对直流可视为短路。

（3）电压和电流的相量关系

电感元件上正弦电压与电流的相量图如图3.8（c）所示。其相量式为

因为　

所以　

即

2．功率

（1）瞬时功率

电感中的瞬时功率可表示为

即

瞬时功率的曲线如图3.8（b）所示，它的频率是电源频率的两倍。当时，电感处于受电状态，从电源取用能量转化为磁能储存在磁场中；当时，电感处于供电状态，将磁场中储存的能量释放给电源。当电流按正弦规律变化时，电感以两倍于电源频率的速度与电源不断地进行能量的交换。

（2）有功功率

电感的有功功率为零，这说明电感是储能元件。理想电感元件在正弦电源的作用下，虽然有电压、电流，但没有能量的消耗，只是与电源不断地进行能量的交换。

（3）无功功率

瞬时功率的幅值反映了能量交换规模的大小。由式（3.18）可知，从数值上看，它正是元件上电压、电流有效值的乘积。由于这部分功率没有被消耗掉，故称为无功功率。通常用无功功率来衡量能量交换的规模的大小。电感元件的无功功率为

无功功率的单位为var（乏），或kvar（千乏）。

〖例3.2〗已知的电感线圈（设线圈的电阻为0）接在的工频电源上，求：（1）线圈的感抗；（2）电流的有效值；（3）无功功率；（4）电感的最大储能；（5）设电压的初相位为零，求，并画出相量图。

解：（1）感抗　

（2）电流有效值　

（3）无功功率　

（4）最大储能　

电感的最大储能在电流的最大值处。

（5）设

则

相量图如图3.9所示。

3.2.3　电容元件的正弦交流电路

1．电压和电流的关系

在图3.10（a）所示电路中，设。根据电容元件上的电压和电流关系

得

即

由此可见，电容元件上的电压、电流也为同频率正弦量。

（1）电压和电流的相位关系

由式（3.21）可知，当电容两端电压的初相位为0°时，其电流的初相位为90°。所以，电容元件上电流超前于电压90°，或称电压滞后于电流90°。电压与电流的波形图如图3.10（b）所示。

（2）电压和电流的大小关系

式中

XC称为容抗，单位为Ω（欧姆），与频率成反比，频率越高，容抗越小，频率越低，容抗越大。可见，电容元件具有阻低频电流，通高频电流的作用。在直流电路中，，这表明电容元件对直流可视为开路。

（3）电压和电流的相量关系

电容元件上电压与电流的相量图如图3.10（c）所示。因为

所以

即

2．功率

（1）瞬时功率

电容元件的瞬时功率可表示为

即

瞬时功率的波形如图3.10（b）所示，同电感元件一样，它的频率也是电源频率的两倍。当时，电容充电，电容从电源取用电能并把它储存在电场中；当时，电容放电，电容将电场中储存的能量释放给电源。当电容上的电压按正弦规律变化时，电容以两倍于电源频率的速度与电源不断地进行能量的交换。

（2）有功功率

电容的有功功率为零，这说明电容元件是储能元件。在正弦交流电源的作用下，虽有电压电流，但没有能量的消耗，只存在电容元件和电源之间的能量的交换。

（3）无功功率

与电感元件相同，电容元件的瞬时功率的幅值也反映了能量交换规模的大小，从数值上看，它也是电容元件上电压、电流有效值的乘积。其无功功率用表示。为了与电感元件的无功功率相比较，也设

为参考正弦量，则

于是得瞬时功率

与式（3.18）相比，电感和电容上的瞬时功率反相位，也就是说，电感与电容取用电能的时刻相差180°。若设QL为正，则QC为负，所以

电感元件和电容元件虽不消耗有功功率，但在电路中要与电源进行能量的交换，对电源而言也是一种负担。

〖例3.3〗已知：，的电源上接有的电容。求：（1）电容的容抗；（2）电流的有效值；（3）无功功率；（4）电容的最大储能；（5）设电流的初相位为零，求并画相量图。

解：（1）容抗　

（2）电流有效值　

（3）无功功率　

（4）最大储能　

电容的最大储能在电压的最大值处。

（5）设，则

相量图如图3.11所示。

【思考与练习】

3-2-1　在下列表格中，填上各元件电压、电流的相应关系式及相量图。