第三节　极限的运算法则和性质

一、内容提要

1．极限的运算法则

注　（1）法则（1）、（2）均可推广到有限个函数的情形．

（2）定理1中的x→x ₀可以换成x→∞．

（3）对于数列也有同样的运算法则．

推论1　如果存在，而C为常数，则

推论2　如果存在，而n是正整数，则

定理2（复合函数的极限运算法则）　设函数y＝f［g（x）］是由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，f［g（x）］在点x ₀的某去心邻域内有定义，若，且存在δ₀＞0，当

2．极限的性质

（1）收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）　如果数列收敛，那么它的极限唯一．

定理2（收敛数列的有界性）　如果数列｛x_n｝收敛，那么数列｛x_n｝一定有界．

定理3（收敛数列的保号性）　如果，那么存在正整数N，当n＞N时，都有x_n＞0（或x_n＜0）．

推论　如果数列从某项起有x _n≥0（或x_n≤0），且，则a≥0（或a≤0）．

＊定理4（收敛数列与其子数列间的关系）　如果数列收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a．

（2）函数极限的性质

定理1（函数极限的唯一性）　如果存在，那么这极限唯一．

定理2（函数极限的局部有界性）　如果，那么存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜｜x－x ₀｜＜δ时，有｜f（x）｜＜M．

定理3（函数极限的局部保号性）　如果，且A＞0（或A＜0），那么存在常数δ＞0，使得当0＜｜x－x ₀｜＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）．

推论　如果在x ₀的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且，那么A≥0（或A≤0）．

二、基本要求

掌握极限的性质及运算法则，重点掌握用极限的运算法则求数列和函数的极限．

三、疑难解析

解　分子、分母同除以最高次项x4，得

一般地，当a₀≠0，b₀≠0，m和n为非负整数时

四、典型范例

题型1　用运算法则求函数的极限

解　约去零因式法

解　有理化法

解　分子、分母同除以最高次项x3

题型2　根据函数的极限值求未知系数或未知函数表达式

例5　设p（x）是多项式，且

解　因为，所以可设p（x）＝x 3＋2x 2＋ax＋b，又因为，所

以p（x）～x（x→0），从而得b＝0，a＝1，故p（x）＝x 3＋2x 2＋x．

解　因为，所以必须有，即1＋a＋b＝0，将b＝－1－a代入原式，得

故a＝1，b＝－2．

五、习题选解

1．计算下列极限：

证　用反证法．假设f（x）同时有两个不同的极限a和b，且a＜b．取因为，故存在δ₁＞0，使得当0＜｜x－x ₀｜＜δ₁时，不等式

都成立．同理，因为，故存在δ₂＞0，使得当0＜｜x－x ₀｜＜δ₂时，不等式

都成立．取δ＝min｛δ₁，δ₂｝，则当0＜｜x－x ₀｜＜δ时，上述两个不等式同时成立，于是有f（x）＜，同时，这是不可能的．这一矛盾表明只能有a＝b．

3．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例．

（2）错，例如f（x）＝sgn x，g（x）＝－sgn x，当x→0时的极限都不存在，但f（x）＋g（x）≡0，当x→0时的极限存在．