1.4　脉冲雷达

脉冲雷达波形示意如图1-7所示。雷达发射的是一个周期性脉冲序列，相邻两个脉冲的间隔称为脉冲重复间隔（Pulse Repetition Interval，PRI，记为T），其倒数称为脉冲重复频率（Pulse Repetition Frequency，PRF，记为fPRF）。在每个脉冲重复间隔内，前一部分时间用于发射脉冲，其时宽Tp称为脉冲的时宽或脉冲持续时间，后一部分时间用于接收目标散射的回波信号。如此重复，发射、接收交替进行。发射脉冲的时宽在一个脉冲重复间隔中所占的比例Tp/T称为占空比。每个脉冲既可以是单频脉冲，也可以是调制脉冲。以下首先介绍单脉冲雷达波形，包括单频脉冲雷达波形和线性调频脉冲雷达波形，然后介绍脉冲串雷达波形。

1.4.1　单频脉冲雷达波形

单频脉冲雷达的时域表达式为

式中，f0表示雷达载频；rect表示如下矩形窗函数。

单频脉冲雷达的频域表达式为

单频脉冲雷达的时域波形（实部）和频谱如图1-8所示。单频脉冲的带宽B定义为频谱主瓣的3dB宽度，表达式为B=0.88/Tp≈1/Tp。可见单频脉冲的时宽和带宽成反比。

考虑收发同置雷达感知单个静止目标的例子，雷达发射波形被目标散射，回波经过延时τ被雷达接收，目标回波的时域表达式为

式中，α为散射系数；τ为延时，与目标到雷达的距离R成正比，即τ=2R/c。因此，通过测量延时τ即可测量目标到雷达的距离。目标回波的频域表达式为

为了提高接收端的信噪比，从而更准确地检测目标、测量距离，通常需要对目标回波进行匹配滤波处理。匹配滤波器的冲激响应函数为雷达发射信号的时域反褶后的复共轭，表达式为

式中，上标*表示取共轭。根据傅里叶变换的性质，匹配滤波器的频域表达式为

事实上，匹配滤波器是在特定时刻最大化输出信噪比的滤波器。为了证明这一点，考虑一般的滤波器，其冲激响应为h（t），频率响应为H（f），则滤波器输出信号y（t）的时域表达式和频域表达式分别为

式中，运算*表示卷积。假设输入中包含功率谱密度为的高斯白噪声，则输出噪声仍为高斯噪声，方差为

本节希望在t=τ时刻最大化匹配滤波器输出的信噪比χ。信噪比χ的表达式为

由式（1-24）和柯西-施瓦茨不等式可得

由此可得

当满足时取等号，即。这就证明了匹配滤波器可以最大化t=τ时刻的输出信噪比。需要说明的是，在实际处理中，为了保证滤波器的因果性，即当t＜0时，h（t）=0，通常取，其中TM≥Tp，相应的匹配滤波器输出将在t=TM+τ处取得峰值。为方便表达，以下的分析中仍设。

对单个静止点目标，匹配滤波器输出的时域表达式和频域表达式分别为

式中，C（t）表示sT（t）的自相关函数，表达式为

自相关函数C（t）的频谱为，自相关函数的最大值C（0）为脉冲的能量Ep。式（1-33）表明，对单个静止点目标，匹配滤波器的输出就是发射波形自相关函数的延迟。根据柯西-施瓦茨不等式，有

因此，由式（1-33）可知，匹配滤波器输出y（t）的峰值出现在t=τ处。单频脉冲的自相关函数是一个三角脉冲，表示为

因此，匹配滤波器输出的三角脉冲的宽度为2Tp，在τ=2R/c处取最大值αC（0）=αTp。单频脉冲雷达的匹配滤波器输出如图1-9所示。设置两个幅度相同的目标，距离分别为R0和R0+30m，图中横轴为相对R0的距离，匹配滤波器输出为两个三角脉冲的叠加。当脉冲的时宽为0.1μs时，匹配滤波器输出存在两个峰值，表明场景中有两个目标。当脉冲的时宽增大到0.2μs时，匹配滤波器输出只有一个峰值，即两个目标的响应发生了混叠，两者难以区分。因此，单频脉冲的时宽如果过大，则不利于分辨多个目标。这与1.3.1节对距离分辨率的分析是一致的，单频脉冲的时宽越小，则带宽越大，距离分辨率越高。

当目标相对雷达有径向运动时，目标散射回波为

式中，fd为多普勒频率，由式（1-11）给出。此时，按照静止目标回波设计的匹配滤波器并不能与运动目标回波完美地匹配，而是存在多普勒失配现象，匹配滤波器输出的幅度、信噪比都会随之变小。为了刻画匹配滤波器中的多普勒失配现象，需要引入模糊函数的概念。模糊函数用于刻画存在多普勒失配现象时匹配滤波器输出端的特性。波形x（t）的模糊函数定义为

模糊函数（τ，fd）表示雷达发射波形为x（t）、接收回波为x（t）exp（j2πfdt）时匹配滤波器的输出，匹配滤波器冲激响应函数由式（1-25）给出。对于多普勒频率为fd的运动目标，式（1-25）中的匹配滤波器的输出幅度为

模糊函数的一个重要性质是，这可以根据柯西-施瓦茨不等式证明，即

特别地，有。这表明，在静止目标的真实位置对应的延时τ处，匹配滤波器输出的峰值幅度达到最大。单频脉冲雷达波形的模糊函数的幅度为

单频脉冲雷达波形的模糊函数等高线如图1-10所示。从式（1-42）可以看出，对固定的fd，单频脉冲雷达波形模糊函数（τ，fd）的峰值总是出现在τ=0处，峰值幅度为

这说明，在单频脉冲雷达中，即便存在多普勒频率fd，匹配滤波器输出的峰值也会出现在t=τ时刻，可以正确反映出单个目标的延时。然而，匹配滤波器输出的峰值随多普勒频率fd呈sinc规律变化，多普勒失配会导致匹配滤波器输出的幅度减小、信噪比降低。

前面提到，在单频脉冲中，时宽越小，距离分辨率越高。然而，单频脉冲的时宽也不宜过小。这是因为单频脉冲的能量A2Tp与时宽Tp成正比，大的脉冲时宽将带来更高的能量，雷达接收端的信噪比也更高，更有利于雷达检测到远距离的目标。这说明，单频脉冲雷达的距离分辨率和最大探测距离之间存在矛盾，其根源在于单频脉冲的时宽和带宽成反比。脉冲压缩是解决距离分辨率和最大探测距离之间矛盾的有效技术。该技术用既有大时宽又有大带宽的调频脉冲代替单频脉冲。调频脉冲包括线性调频脉冲和非线性调频脉冲，其中线性调频脉冲应用较为广泛，下一节将对其进行详细介绍。

1.4.2　线性调频脉冲雷达波形

线性调频（Linear Frequency Modulation，LFM）信号也称chirp信号，其特点为频率随时间线性升高或降低。线性调频脉冲雷达波形的时域表达式为

式中，f0表示雷达载频；γ=±B/Tp表示线性调频率，Tp表示时宽，B表示带宽。BTp称为时宽带宽积，通常要求BTp≫1。线性调频脉冲雷达波形的瞬时频率为，即瞬时频率随时间呈线性变化。当γ＞0时，为正向线性调频脉冲雷达波形（up-chirp）；当γ＜0时，为反向线性调频脉冲雷达波形（down-chirp）。线性调频脉冲雷达的时域波形与频谱如图1-11所示。以星载合成孔径雷达RADARSAT系统的参数为例，B=17.2MHz，Tp=42μs。线性调频波形的频域表达式可以根据驻相原理近似计算，参见文献［1］。当BTp≫1时，近似结果为

式中，C1为常数。可以看出，线性调频信号的频谱形式也是随频率变化的chirp信号。与1.4.1节类似，线性调频脉冲雷达测距也是通过匹配滤波器实现的，匹配滤波器输出仍为自相关函数的延迟，参见式（1-33）。线性调频信号的自相关函数，即匹配滤波器输出，如图1-12所示，其表达式为［1，3］

式中的自相关函数可以分解为缓变部分分和捷变部。缓变部分为三角脉冲，在t=0附近近似为常数；捷变部分在t=0附近可以近似为sinc（Bt），其3dB宽度为0.88/B≈1/B，相应的距离分辨率为。因此，线性调频脉冲的自相关函数在t=0附近可以近似为

式（1-47）也可以从频域验证，因为根据式（1-45），C（t）的频谱近似为一个带宽为B的矩形窗，因此C（t）近似为sinc函数。可以看出，线性调频脉冲的匹配滤波器输出的时宽为1/B，与原始时宽Tp相比大幅压缩，压缩倍数为时宽带宽积BTp，通常有BTp≫1。这说明，线性调频脉冲既能用大时宽积累足够的信号能量，确保增加雷达的作用距离，又能用大带宽确保精确的距离分辨率。

线性调频脉冲的匹配滤波器输出由一个主瓣和多个旁瓣组成，其位置在图1-12中标出。其中，匹配滤波器输出的第一旁瓣高度为-13dB。旁瓣过高不利于对弱目标的检测。为了说明旁瓣高度对弱目标的影响，假设场景中有一强一弱两个目标，两目标间距为5ρR，弱目标的幅度比强目标低26dB。如图1-13（a）所示，在匹配滤波器输出中，由于弱目标的峰值高度与峰值附近强目标的旁瓣高度接近，导致弱目标被强目标遮挡。抑制旁瓣可以减少强目标对弱目标的遮挡，而加窗是一种能有效抑制旁瓣的信号处理技术。加窗是指将原信号与一个窗函数相乘，其中窗函数是一种对信号加权的对称实函数，权重在中心位置最大，向两侧逐渐衰减。常用的窗函数有矩形窗（不加窗）、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。加窗后，匹配滤波器的频域表达式由式（1-26）变为

式中，W（f）为频域窗函数。

加窗对匹配滤波器输出的影响如图1-13所示。其中，图1-13（a）显示了不加窗时强目标对弱目标的遮挡；在图1-13（b）中，窗函数选择Hanning窗，加窗后滤波器输出的旁瓣被抑制，可以清晰地分辨出两个目标，有效抑制强目标旁瓣对弱目标的遮挡。4种常用的窗函数及加窗后的滤波器输出如图1-14所示，各窗函数的比较如表1-1所示。从图1-14和表1-1中可以看出，窗函数的旁瓣越低（以最大旁瓣幅度计算），主瓣通常越宽。因此，在多目标场景中，加窗可以抑制强目标旁瓣对弱目标的遮挡，而代价是输出的主瓣展宽、距离分辨率受损，不利于分辨相距较近的目标。需要说明的是，加窗后的滤波器不再是匹配滤波器，滤波器输出端无法达到式（1-32）中的最优信噪比。

与1.4.1节类似，当目标相对雷达有径向运动时，接收回波中存在多普勒频率fd。如果采用按照静止目标设计的匹配滤波器，也会存在多普勒失配现象，导致输出的信噪比降低。为了分析存在多普勒失配现象时的匹配滤波器输出，需要考虑线性调频脉冲雷达波形的模糊函数。线性调频脉冲雷达波形的模糊函数幅度为

式中，是为了与式（1-42）中单频脉冲雷达波形的模糊函数区分开来，两者的关系为，即两者可以由模糊函数在延时-多普勒平面的剪切变换互相转换。线性调频脉冲雷达波形的模糊函数等高线如图1-15所示，图中时宽与带宽的积为BTp=722.4（与前述RADARSAT系统的参数一致）。图1-15说明，线性调频脉冲雷达波形的模糊函数呈现出距离-多普勒耦合现象［1］。对于运动目标，当存在多普勒频率fd时，式（1-25）的匹配滤波器输出幅度的峰值并非出现在t=τ时刻，而是出现在时刻，相应的距离测量误差为。此外，存在多普勒失配现象，匹配滤波器的峰值幅度也会减小。当τ=0时，线性调频脉冲雷达的模糊函数幅度与单频脉冲雷达的模糊函数幅度表达式相同，见式（1-43）。

1.4.3　脉冲串雷达波形

1.2节介绍了相参积累的概念，由多个相参脉冲组成脉冲串，通过脉冲相参积累，可以有效提高雷达检测时的信噪比χ。脉冲串雷达波形的时域表达式为

式中，m表示第m个脉冲；sp（t）表示时宽为Tp的单脉冲的基带波形，单脉冲可以是式（1-20）中的单频脉冲或式（1-44）中的线性调频脉冲等。在以下分析中，假设T＞2Tp，即占空比小于50％。

与单脉冲雷达类似，脉冲串雷达测距也是通过匹配滤波实现的。首先考虑静止目标的匹配滤波。假设场景中存在一个静止目标，目标散射回波表达式为

脉冲串雷达波形的匹配滤波通常采用逐个脉冲处理的方式实现。首先假设τ≤T-Tp，此时目标对第m个脉冲的散射回波αsp（t-τ-mT）可以在第m个脉冲重复间隔内采集到。在每个脉冲重复间隔内用单脉冲的匹配滤波器hp（t）进行滤波，得到

式中，Cp（t）为单脉冲的自相关函数。ym（t）的峰值为ym（τ+mT）=αCp（0）=αEp。对不同脉冲重复间隔内的匹配滤波器输出进行积累，得到

z（t）的峰值为z（τ）=αMCp（0）=αMEp，是ym（t）峰值的M倍。为了分析脉冲相参积累的信号处理增益，假设接收回波中包含功率谱密度为的高斯加性白噪声，根据1.4.1节中的推导，单脉冲匹配滤波器输出ym（t）在t=τ+mT处的信噪比为

式中，Np是单脉冲匹配滤波器输出端的噪声方差，参见式（1-29）～式（1-32）。通过不同脉冲间的积累，输出的信号峰值由变为。而不同脉冲内的噪声是各自独立的，积累后的噪声方差变为原来的M倍。积累后匹配滤波器输出端的信噪比为

因此，M个脉冲积累能得到的信号处理增益为Gsp=M。

以上讨论中假设τ≤T。当τ＞T时，脉冲串雷达波形的匹配滤波器输出中会出现距离模糊现象。假设τ=τ1+kT，k为非负整数，则目标对第m个脉冲的散射回波将在第m+k个脉冲重复间隔中被采集到，m=0，1，…，M-k-1，此时只有M-k个脉冲的散射回波可以在一个相参处理间隔内被采集到。按照逐个脉冲匹配滤波处理流程，式（1-52）变为

式中，m=0，1，…，M-k-1，即ym（t）中只有后M-k项不为0。式（1-53）变为

式（1-57）说明，延时为τ=τ1+kT的静止目标散射回波的匹配滤波器输出峰值出现在t=τ1处，并不能反映其真实距离。这意味着匹配滤波器输出中一个距离单元可能对应不止一个真实距离，这就是距离模糊现象。脉冲串雷达的最大无模糊距离为，当目标场景中目标实际距离范围超过Rua时，就会产生距离模糊现象。为了抑制距离模糊现象，可以采用非均匀脉冲串等技术［1］。

在实际信号处理中，接收端采样后的目标散射回波sR（t）是一个离散时间信号。因此，单脉冲的匹配滤波器输出ym（t）也是一个离散时间信号。设在一个脉冲重复间隔内雷达采集了L个采样点的数据，采样率为fs，采样间隔为Ts=1/fs。一个发射脉冲内的采样点l对应的维度称为快时间。快时间与距离单元相对应，假设采样率等于带宽，即fs=B，则第l个距离单元的距离为，l=0，1，…，L-1。在一个相参处理间隔内有M个脉冲，脉冲数m对应的维度称为慢时间。这样，回波信号和匹配滤波器输出都可以被排列成数据矩阵，即sR［l，m］=sR（lTs+mT），y［l，m］=y（lTs+mT），其中l=0，1，…，L-1，m=0，1，…，M-1。图1-16为脉冲串雷达波形信号处理流程，其中给出了将雷达接收回波转化为数据矩阵的过程。

以下介绍脉冲串雷达测量运动目标的距离和径向速度的算法。在式（1-38）中，一个隐含的假设是目标在一个脉冲时宽内到雷达的距离R（t）变化较小，因此延时τ为固定值。而在脉冲串雷达中，在不同脉冲重复间隔内，目标到雷达的距离R（t）变化明显，因此式（1-38）不再适用。假设目标做径向匀速运动，即R（t）=R0+vrt，其中R0=R（0）为目标初始距离，则目标散射回波可以表示为

在脉冲串雷达波形中，通常采用“走-停”模型刻画运动目标的散射回波。实际目标相对雷达的运动是连续的。而在“走-停”模型中，将目标相对雷达的运动分解成“走”和“停”两种状态。“走”表示雷达不发射脉冲时，目标相对雷达有径向运动；“停”表示雷达发射脉冲时，忽略目标相对雷达的径向运动，因此第m个脉冲重复间隔内的目标距离R（t）可以近似为恒定值R0+mvrT，有

进一步假设目标在一个相参处理间隔内的运动不超过一个距离单元，即，此时，可以认为目标运动引起的延时变化不超过Cp（t）的3dB宽度，近似有，因此有

其峰值位于处，即。于是y［l，m］可以表示为

式中；为归一化多普勒角频率。因此，目标速度估计可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）实现，或者通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）实现，即

式中，，k=-M/2，-M/2+1，…，M/2-1。其中，求和的结果为如下模糊sinc函数。

因此，Y［l，k］的幅度为

Y［l，k］在rl=R0、ωk=ωd附近取得峰值，峰值为。相比单脉冲匹配滤波器输出ym（t），在慢时间维做FFT后信号峰值变为原来信号幅度的M倍，信号能量变为原来的M2倍。而不同脉冲的噪声之间是不相关的，则在慢时间维做FFT后噪声方差变为原来的M倍。因此，在慢时间维做FFT后的信噪比变为Mχp，与式（1-55）中静止目标相参积累的结果相同。根据式（1-64），可以分析脉冲串雷达波形测量目标距离、速度的分辨率和最大无模糊范围。单脉冲自相关函数Cp（t）的3dB宽度约为，则距离分辨率为；如前所述，最大无模糊距离为；模糊sinc函数的3dB宽度约为，则速度分辨率为；ωk的取值范围为-π～π，因此最大无模糊多普勒频率为，即无模糊多普勒频率范围为-fd，ua～fd，ua；最大无模糊速度为，即在不产生速度模糊的条件下，雷达能测量的速度范围为-vua～vua。