1.3 大规模天线技术理论及发展历程

1.3.1 数学基础

1. 实数向量相关系数分布函数

多天线技术中，不同用户信道的相关性决定了系统容量提升的能力，相关性越低，用户之间使用相同资源传输数据产生的干扰就越小，容量提升越大。因此，需要通过数学手段分析大规模天线带来的不同用户之间信道的相关性变化情况。

对于任意两个长度为n的实数序列，其相关系数定义为

由于，所以上述任意两个序列的相关系数为相应n维的单位超球面上任意两个点对应序列的相关系数（或者内积）。相关系数是衡量两个序列相似程度的指标，相关系数越高，则两个序列越相似，越不可分辨；反之，则越容易分辨。可以用不相关的序列来表示不同的信息，从而达到传输信息的目的。下面我们将对长度为n的序列相关系数的特性进行分析。

先以三维实数向量为例来说明任意两个单位模值的序列x和y（向量）之间的相关系数。用p（r_xy≤c）来表示任意两个序列之间相关系数不超过c的概率。由于三维球面上，任意一个向量可以通过正交矩阵旋转特定向量得到，所以上述问题等价于在任意给定一个向量的情况下，球表面其他向量与之相关系数不超过c的概率。在三维坐标系下，不妨设向量x为圆上顶点对应向量v（0,0,1）（其他任意点都可以通过酉矩阵旋转v而得到），其他任意向量y（y₁,y₂,y₃）与x的相关系数表示为

所以r_xy≤c的所有向量，就是球面上所有坐标分量满足y₃≤c的向量构成的集合。p（r_xy≤c）就是球表面上所有满足|y₃|≤c的点围成的区域面积与球表面积的比值。由于球的对称性，可只选其上表面作为观察对象（如图1-1所示）。在图1-1中，虚线表示的带状Ω区域就是满足相关系数约束的区域，因此

根据圆台侧面积公式和球表面积公式可知，S_Ω=2πc、S_sphere=2π，所以p（r_xy≤c）=c。这说明任意两个三维单位向量之间的相关系数是概率分布函数为1的均匀分布。

将三维实数向量推广到任意n维向量，有，S_Ω中的区域Ω应当为

S_n表示n维单位向量构成的超球面的表面积，即

这里，R表示n维超球面的半径，所以该问题的关键在于计算区域Ω的表面积。在三维球面中，该区域具有直观的几何意义，所以很容易计算。当n＞3时，没有直观的几何图形及相应的表面积计算公式，虽然难以计算其准确值，但可以使用近似的方法来计算区域Ω的表面积。利用微积分的思想，任意一个n维球面的表面积微元可以近似地写成(n-1)维球表面积与一个变量微元Δc的乘积，即，对于n维超球面，当c取较小值时，有

从而得到（1-6）

后续的仿真表明，当c=0.1时，公式（1-7）非常接近理论值。因此，利用该公式能够获得任意序列长度的任意两个序列相关系数r_xy≤0.1的概率分布。为了推广至更大范围，可以采用分段函数，即

2. 复数向量相关系数分布函数

对于复数向量来说，其相关系数应当具有与实数向量类似的特征。对于，有，它们均匀地分布在2n维的单位超球表面上。设，则它们的相关系数为

对于均匀球面分布的向量来说，公式（1-9）的实部与虚部的累积概率分布都等价于2n维实数向量相关系数的累积概率分布。因此，其相关系数的实部与虚部概率累积分布与2n维实数向量的相关系数累积分布函数相同。若将相关系数的实部和虚部看成是两个随机变量，则它们具有一定的相关性，实部越大，它的虚部越小，反之亦成立。设任意两个2n维实数向量的相关系数为，则这两个2n维实数向量表示的两个n维复数向量相关系数应当满足。