1.1　随机事件及运算

1.1.1　随机试验与随机事件

我们把对自然现象所进行的一次观察或一次科学实验统称为试验.如果一个试验具有以下特征：

（1）在相同的条件下可以重复进行；

（2）所有可能出现的结果不止一个，并且事先所有的可能结果都是已知的；

（3）每次试验究竟会出现哪个结果，试验前是未知的.称该试验为随机试验（简称试验），记为E.

可以验证下列试验都是随机试验：

（1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数；

（2）抛一枚硬币，观察哪一面向上；

（3）记录某一个网站在一分钟内被点击的次数；

（4）测试某电视机的寿命（以小时计）.

随机试验的所有可能结果称为随机事件，简称事件，用A，B，C，…表示.试验中不能再分或没有必要再分的事件称为基本事件或样本点，用ω表示.全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω.每次试验中都必然发生的事件称为必然事件，显然样本空间Ω为必然事件；试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为.

【例1】　写出上面随机试验的样本空间.

（1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；

（2）掷一枚硬币，观察哪一面向上，Ω=｛正面，反面｝；

（3）记录某一个网站在一分钟内被点击的次数，Ω=｛0，1，2，…｝；

（4）测试某电视机的寿命（以小时计），Ω=｛t|t≥0｝.

引入样本空间后，任一事件A都是样本空间Ω的子集，这样就建立了事件与集合之间的关系，以后就可以用集合的方法研究随机事件，需要注意的是在一次试验中有且只有一个基本事件发生.

1.1.2　随机事件的关系及运算

进行随机试验，有多种事件发生，这些事件往往是相互关联的.为了研究复杂事件的概率，需要引入事件的关系及运算.

设A，B是同一样本空间Ω的事件，它们有以下关系及运算：

（1）包含

若事件A的发生必然导致事件B的发生，则称B包含A，也称A为B的子事件，记为A⊂B.

（2）相等

若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记为A=B.

（3）事件的交（积）

“事件A和事件B同时发生”这一事件，称为事件A和B的交（积），记为A∩B或AB.

类似地，称为n个事件A1，A2，…，An的交；称为可列个事件A1，A2，…的交.

（4）事件的并（和）

“事件A或事件B至少有一个发生”这一事件，称为A和B的并（和），记为A∪B.

类似地，称为n个事件A1，A2，…，An的并；称为可列个事件A1，A2，…的并.

（5）事件的差

“事件A发生而B不发生”这一事件，称为事件A与B的差，记为A-B.

（6）相容与互斥事件

若事件A与B不能同时发生，即A∩B=，称事件A与B互不相容（互斥），否则称为相容.

当事件A与B互斥时，一般将A∪B记为A+B，称为A和B的和.

（7）对立事件（逆事件）

若事件A与B不能同时发生，但又必定有一个出现，即A∩B=且A∪B=Ω，称事件A与B互为对立事件或逆事件，记B=.

显然，=A，Ω-A=，A-B==A-AB.

注意对立事件与互斥事件的区别：对立事件一定是互斥事件，但反过来不成立.

上述关系和运算还可以用文氏图表示（见图1-1～图1-6）：

可以验证事件的运算满足：

（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）结合律：A∪B∪C=A∪（B∪C），A∩B∩C=A∩（B∩C）；

（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），

　　　　　　 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；

（4）德·摩根律：，

事件的上述运算规律还可以推广到事件为有限多个或可列无限个的情形.

为了更好地理解这些关系和运算，现把集合论的有关结论与概率论的相关结论的关系用表1-1表示.

【例2】　设A，B，C表示三个事件，用事件的运算表示下列事件：

（1）A发生；　　A

（2）仅A发生；　　

（3）A，B，C都发生；　　ABC

（4）A，B，C都不发生；　　

（5）A，B，C不都发生；　　

（6）A，B，C不多于一个发生；　　

（7）A，B，C恰好有两个发生.　　

【例3】　化简下列运算：